5. (2024·鼓楼区月考)方程组 $\begin{cases}|x| - y = 10,\\x - |y| = 4\end{cases}$ 的解的个数是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：5. A
解析：
情况1：$x ≥ 0$，$y ≥ 0$
方程组化为：$\begin{cases}x - y = 10 \\ x - y = 4\end{cases}$
两式矛盾，无解。
情况2：$x ≥ 0$，$y ＜ 0$
方程组化为：$\begin{cases}x - y = 10 \\ x + y = 4\end{cases}$
解得：$x = 7$，$y = -3$，满足条件。
情况3：$x ＜ 0$，$y ≥ 0$
方程组化为：$\begin{cases}-x - y = 10 \\ x - y = 4\end{cases}$
解得：$x = -3$，$y = -7$，与$y ≥ 0$矛盾，舍去。
情况4：$x ＜ 0$，$y ＜ 0$
方程组化为：$\begin{cases}-x - y = 10 \\ x + y = 4\end{cases}$
两式矛盾，无解。
综上，原方程组有1组解。
A
方程组化为：$\begin{cases}x - y = 10 \\ x - y = 4\end{cases}$
两式矛盾，无解。
情况2：$x ≥ 0$，$y ＜ 0$
方程组化为：$\begin{cases}x - y = 10 \\ x + y = 4\end{cases}$
解得：$x = 7$，$y = -3$，满足条件。
情况3：$x ＜ 0$，$y ≥ 0$
方程组化为：$\begin{cases}-x - y = 10 \\ x - y = 4\end{cases}$
解得：$x = -3$，$y = -7$，与$y ≥ 0$矛盾，舍去。
情况4：$x ＜ 0$，$y ＜ 0$
方程组化为：$\begin{cases}-x - y = 10 \\ x + y = 4\end{cases}$
两式矛盾，无解。
综上，原方程组有1组解。
A
6. (2024·姜堰月考)已知方程组 $\begin{cases}5x + y = 3,\\ax + 5y = 4\end{cases}$ 和 $\begin{cases}x - 2y = 5,\\5x + by = 1\end{cases}$ 有相同的解，则 $ a,b $ 的值为 ( )
A.$\begin{cases}a = 14,\\b = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}a = 4,\\b = - 6\end{cases}$
C.$\begin{cases}a = - 6,\\b = 2\end{cases}$
D.$\begin{cases}a = 1,\\b = 2\end{cases}$
A.$\begin{cases}a = 14,\\b = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}a = 4,\\b = - 6\end{cases}$
C.$\begin{cases}a = - 6,\\b = 2\end{cases}$
D.$\begin{cases}a = 1,\\b = 2\end{cases}$
答案：6. A
解析：
因为两个方程组有相同的解，所以联立不含$a$、$b$的方程：$\begin{cases}5x + y = 3 \\ x - 2y = 5\end{cases}$
由$x - 2y = 5$得$x = 2y + 5$，代入$5x + y = 3$：
$5(2y + 5) + y = 3$
$10y + 25 + y = 3$
$11y = -22$
$y = -2$
将$y = -2$代入$x = 2y + 5$，得$x = 2×(-2) + 5 = 1$
把$x = 1$，$y = -2$代入$ax + 5y = 4$：$a×1 + 5×(-2) = 4$，解得$a = 14$
把$x = 1$，$y = -2$代入$5x + by = 1$：$5×1 + b×(-2) = 1$，解得$b = 2$
A
由$x - 2y = 5$得$x = 2y + 5$，代入$5x + y = 3$：
$5(2y + 5) + y = 3$
$10y + 25 + y = 3$
$11y = -22$
$y = -2$
将$y = -2$代入$x = 2y + 5$，得$x = 2×(-2) + 5 = 1$
把$x = 1$，$y = -2$代入$ax + 5y = 4$：$a×1 + 5×(-2) = 4$，解得$a = 14$
把$x = 1$，$y = -2$代入$5x + by = 1$：$5×1 + b×(-2) = 1$，解得$b = 2$
A
7. (2024·张家港月考)由方程组 $\begin{cases}x + a = 3,\\y - 2 = a\end{cases}$ 可得 $ y = $ ______ .(用只含 $ x $ 的代数式表示)
答案：7. $5 - x$
解析：
由$x + a = 3$，得$a = 3 - x$。
将$a = 3 - x$代入$y - 2 = a$，得$y - 2 = 3 - x$。
所以$y = 3 - x + 2 = 5 - x$。
$5 - x$
将$a = 3 - x$代入$y - 2 = a$，得$y - 2 = 3 - x$。
所以$y = 3 - x + 2 = 5 - x$。
$5 - x$
8. (2024·新吴区期中)对于任意有理数 $ a,b,c,d $，我们规定 $\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$.已知 $ x,y $ 同时满足 $\begin{vmatrix}x&y\\-1&4\end{vmatrix}=5$，$\begin{vmatrix}5&y\\-3&x\end{vmatrix}=1$，则 $ x + y = $ ______ .
答案：8. $-1$
解析：
由题意得：
$\begin{cases}4x - (-1)y = 5 \\5x - (-3)y = 1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}4x + y = 5 \quad (1) \\5x + 3y = 1 \quad (2)\end{cases}$
$(1) × 3 - (2)$得：$12x + 3y - 5x - 3y = 15 - 1$
$7x = 14$
$x = 2$
将$x = 2$代入$(1)$得：$4×2 + y = 5$
$y = 5 - 8 = -3$
$x + y = 2 + (-3) = -1$
$-1$
$\begin{cases}4x - (-1)y = 5 \\5x - (-3)y = 1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}4x + y = 5 \quad (1) \\5x + 3y = 1 \quad (2)\end{cases}$
$(1) × 3 - (2)$得：$12x + 3y - 5x - 3y = 15 - 1$
$7x = 14$
$x = 2$
将$x = 2$代入$(1)$得：$4×2 + y = 5$
$y = 5 - 8 = -3$
$x + y = 2 + (-3) = -1$
$-1$
9. 已知 $\begin{cases}x = 4,\\y = - 2\end{cases}$ 和 $\begin{cases}x = - 2,\\y = - 5\end{cases}$ 都满足等式 $ y = kx + b $.
(1)求 $ k $ 和 $ b $ 的值；
(2)当 $ x = 8 $ 时，求 $ y $ 的值；
(3)当 $ y = 3 $ 时，求 $ x $ 的值.
(1)求 $ k $ 和 $ b $ 的值；
(2)当 $ x = 8 $ 时，求 $ y $ 的值；
(3)当 $ y = 3 $ 时，求 $ x $ 的值.
答案：9. 解：(1)把$\begin{cases}x = 4,\\y = -2\end{cases}$和$\begin{cases}x = -2,\\y = -5\end{cases}$代入等式$y = kx + b$，
得$\begin{cases}4k + b = -2,\\-2k + b = -5,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = \frac{1}{2},\\b = -4.\end{cases}$
(2)由(1)可知$y = \frac{1}{2}x - 4$，
把$x = 8$代入$y = \frac{1}{2}x - 4$，得$y = 0$．
(3)把$y = 3$代入$y = \frac{1}{2}x - 4$，得$x = 14$．
得$\begin{cases}4k + b = -2,\\-2k + b = -5,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = \frac{1}{2},\\b = -4.\end{cases}$
(2)由(1)可知$y = \frac{1}{2}x - 4$，
把$x = 8$代入$y = \frac{1}{2}x - 4$，得$y = 0$．
(3)把$y = 3$代入$y = \frac{1}{2}x - 4$，得$x = 14$．
10. 已知 $ n $ 个数 $ x_1,x_2,x_3,···,x_n $，它们每一个数只能取 $ 0,1, - 2 $ 这三个数中的一个，且 $ x_1 + x_2 + x_3 + ··· + x_n = - 5 $，$ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ··· + x_n^2 = 19 $，求 $ x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + ··· + x_n^3 $ 的值.
答案：10. 解：设有$a$个$1$，有$b$个$-2$，则有$(n - a - b)$个$0$，
根据题意，得$\begin{cases}a - 2b = -5,\\a + 4b = 19,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 3,\\b = 4,\end{cases}$
所以$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + ··· + x_n^3 = 3×1^3 + 4×(-2)^3 = -29$．
根据题意，得$\begin{cases}a - 2b = -5,\\a + 4b = 19,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 3,\\b = 4,\end{cases}$
所以$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + ··· + x_n^3 = 3×1^3 + 4×(-2)^3 = -29$．