7. (2024·启东期末)解方程组$\begin{cases}2x + 3y = 8,\\3x - 2y = -1\end{cases}$的思路可用如图的框图表示，圈中应填写的对方程①②所做的变形为( )
A.①$×2 +$②$×3$
B.①$×2 -$②$×3$
C.①$×3 -$②$×2$
D.①$×3 +$②$×2$
A.①$×2 +$②$×3$
B.①$×2 -$②$×3$
C.①$×3 -$②$×2$
D.①$×3 +$②$×2$
答案：7. C
解析：
解：观察框图，目标是消去$x$项。方程①为$2x + 3y = 8$，方程②为$3x - 2y = -1$。
为使$x$的系数相同，①需乘以$3$得：$6x + 9y = 24$；②需乘以$2$得：$6x - 4y = -2$。
框图中$(6x + 9y)-(6x - 4y)=24 - (-2)$，即①$×3 - $②$×2$。
C
为使$x$的系数相同，①需乘以$3$得：$6x + 9y = 24$；②需乘以$2$得：$6x - 4y = -2$。
框图中$(6x + 9y)-(6x - 4y)=24 - (-2)$，即①$×3 - $②$×2$。
C
8. (2024·工业园区期中)已知方程组$\begin{cases}x - 5y = 13,\\4x - 2y = 7,\end{cases}$则$x + y$的值是 ______ 。
答案：8. -2
解析：
$\begin{cases}x - 5y = 13, \quad①\\4x - 2y = 7, \quad②\end{cases}$
$② - ①×4$得：$4x - 2y - 4(x - 5y) = 7 - 4×13$
$4x - 2y - 4x + 20y = 7 - 52$
$18y = -45$
$y = -\dfrac{5}{2}$
将$y = -\dfrac{5}{2}$代入①得：$x - 5×(-\dfrac{5}{2}) = 13$
$x + \dfrac{25}{2} = 13$
$x = 13 - \dfrac{25}{2} = \dfrac{26}{2} - \dfrac{25}{2} = \dfrac{1}{2}$
$x + y = \dfrac{1}{2} + (-\dfrac{5}{2}) = -2$
-2
$② - ①×4$得：$4x - 2y - 4(x - 5y) = 7 - 4×13$
$4x - 2y - 4x + 20y = 7 - 52$
$18y = -45$
$y = -\dfrac{5}{2}$
将$y = -\dfrac{5}{2}$代入①得：$x - 5×(-\dfrac{5}{2}) = 13$
$x + \dfrac{25}{2} = 13$
$x = 13 - \dfrac{25}{2} = \dfrac{26}{2} - \dfrac{25}{2} = \dfrac{1}{2}$
$x + y = \dfrac{1}{2} + (-\dfrac{5}{2}) = -2$
-2
9. (2024·宿迁月考)对于有理数$x$，$y$，定义一种新运算：$x\oplus y = ax + by - 5$，其中$a$，$b$为常数。已知$1\oplus2 = 9$，$(-3)\oplus3 = -2$，则$2a + b =$
13
。答案：9. 13
解析：
根据新运算定义$x\oplus y = ax + by - 5$，由已知条件得：
$\begin{cases}a×1 + b×2 - 5 = 9 \\a×(-3) + b×3 - 5 = -2\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a + 2b = 14 \quad (1) \\-3a + 3b = 3 \quad (2)\end{cases}$
由$(2)$式两边同除以3得：$-a + b = 1$，即$b = a + 1\quad (3)$
将$(3)$代入$(1)$：$a + 2(a + 1) = 14$，解得$a = 4$
代入$(3)$得$b = 5$
则$2a + b = 2×4 + 5 = 13$
13
$\begin{cases}a×1 + b×2 - 5 = 9 \\a×(-3) + b×3 - 5 = -2\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a + 2b = 14 \quad (1) \\-3a + 3b = 3 \quad (2)\end{cases}$
由$(2)$式两边同除以3得：$-a + b = 1$，即$b = a + 1\quad (3)$
将$(3)$代入$(1)$：$a + 2(a + 1) = 14$，解得$a = 4$
代入$(3)$得$b = 5$
则$2a + b = 2×4 + 5 = 13$
13
10. 若$\begin{cases}2a + b = k,\\3a + b = 2k - 3,\end{cases}$且$ab = 4$，则$(a^{2} + 2)(b^{2} + 2)$的值为 ______ 。
答案：10. 22
解析：
$\begin{cases}2a + b = k,\\3a + b = 2k - 3,\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程：$(3a + b) - (2a + b) = (2k - 3) - k$，得$a = k - 3$。
将$a = k - 3$代入$2a + b = k$，得$2(k - 3) + b = k$，$2k - 6 + b = k$，$b = 6 - k$。
因为$ab = 4$，所以$(k - 3)(6 - k) = 4$，$-k^2 + 9k - 18 = 4$，$k^2 - 9k + 22 = 0$。
$a + b = (k - 3) + (6 - k) = 3$。
$(a^2 + 2)(b^2 + 2) = a^2b^2 + 2a^2 + 2b^2 + 4 = (ab)^2 + 2[(a + b)^2 - 2ab] + 4$。
把$ab = 4$，$a + b = 3$代入，得$4^2 + 2[(3)^2 - 2×4] + 4 = 16 + 2(9 - 8) + 4 = 16 + 2×1 + 4 = 22$。
22
用第二个方程减去第一个方程：$(3a + b) - (2a + b) = (2k - 3) - k$，得$a = k - 3$。
将$a = k - 3$代入$2a + b = k$，得$2(k - 3) + b = k$，$2k - 6 + b = k$，$b = 6 - k$。
因为$ab = 4$，所以$(k - 3)(6 - k) = 4$，$-k^2 + 9k - 18 = 4$，$k^2 - 9k + 22 = 0$。
$a + b = (k - 3) + (6 - k) = 3$。
$(a^2 + 2)(b^2 + 2) = a^2b^2 + 2a^2 + 2b^2 + 4 = (ab)^2 + 2[(a + b)^2 - 2ab] + 4$。
把$ab = 4$，$a + b = 3$代入，得$4^2 + 2[(3)^2 - 2×4] + 4 = 16 + 2(9 - 8) + 4 = 16 + 2×1 + 4 = 22$。
22
11. 在等式$y = ax^{2} + bx + 1$中，当$x = -1$时，$y = 6$；当$x = 2$时，$y = 11$。
（1）求$a$，$b$的值；
（2）当$x = -3$时，求$y$的值。
（1）求$a$，$b$的值；
（2）当$x = -3$时，求$y$的值。
答案：11. 解: (1) 根据题意, 得 $\{\begin{array}{l}a-b+1=6, ① \\ 4 a+2 b+1=11, ②\end{array} $
①×2 + ②, 得 $6 a+3=23$,
解得 $a=\frac{10}{3}$.
将 $a=\frac{10}{3}$ 代入①, 得 $\frac{10}{3}-b+1=6$,
解得 $b=-\frac{5}{3}$.
(2) 由 (1) 可知, $y=\frac{10}{3} x^{2}-\frac{5}{3} x+1$,
当 $x=-3$ 时, $y=\frac{10}{3} ×(-3)^{2}-\frac{5}{3} ×(-3)+1=36$.
①×2 + ②, 得 $6 a+3=23$,
解得 $a=\frac{10}{3}$.
将 $a=\frac{10}{3}$ 代入①, 得 $\frac{10}{3}-b+1=6$,
解得 $b=-\frac{5}{3}$.
(2) 由 (1) 可知, $y=\frac{10}{3} x^{2}-\frac{5}{3} x+1$,
当 $x=-3$ 时, $y=\frac{10}{3} ×(-3)^{2}-\frac{5}{3} ×(-3)+1=36$.
12. （2024·丹徒区期末）对于有理数$x$，$y$定义一种新运算“※”：$x※y = ax - by + 2$。例如，$2※1 = 2a - b + 2$。
（1）若$1※(-1) = -4$，$3※2 = 4$，求$a$，$b$的值；
（2）在（1）的条件下，试说明：$x※y = (x - 2)※(y - 1)$。
（1）若$1※(-1) = -4$，$3※2 = 4$，求$a$，$b$的值；
（2）在（1）的条件下，试说明：$x※y = (x - 2)※(y - 1)$。
答案：12. 解: (1) 因为 $x ※ y=a x-b y+2,1 ※(-1)=-4,3 ※ 2=4$,
所以 $\{\begin{array}{l}a+b+2=-4, \\ 3 a-2 b+2=4,\end{array} $ 解得 $\{\begin{array}{l}a=-2, \\ b=-4\end{array} $.
(2) 因为 $a=-2, b=-4$,
所以 $x ※ y=a x-b y+2=-2 x+4 y+2,(x - 2) ※(y - 1)=a(x - 2)-b(y - 1)+2=-2(x - 2)+4(y - 1)+2=-2 x+4 y+2$, 所以 $x ※ y=(x - 2) ※(y - 1)$.
所以 $\{\begin{array}{l}a+b+2=-4, \\ 3 a-2 b+2=4,\end{array} $ 解得 $\{\begin{array}{l}a=-2, \\ b=-4\end{array} $.
(2) 因为 $a=-2, b=-4$,
所以 $x ※ y=a x-b y+2=-2 x+4 y+2,(x - 2) ※(y - 1)=a(x - 2)-b(y - 1)+2=-2(x - 2)+4(y - 1)+2=-2 x+4 y+2$, 所以 $x ※ y=(x - 2) ※(y - 1)$.
13. 如图①，在$3×3$的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的$3$个数，每列的$3$个数，斜对角的$3$个数之和均相等。
（1）求$x$，$y$的值；
（2）在图②中补全方阵图。
（1）求$x$，$y$的值；
（2）在图②中补全方阵图。
答案：
13. 解: (1) 由题意, 得 $\{\begin{array}{l}3+4+x=x+y+2 y-x, \\ 3-2+2 y-x=3+4+x,\end{array} $
解得 $\{\begin{array}{l}x=-1, \\ y=2\end{array} $.
(2) 如答图所示.
13. 解: (1) 由题意, 得 $\{\begin{array}{l}3+4+x=x+y+2 y-x, \\ 3-2+2 y-x=3+4+x,\end{array} $
解得 $\{\begin{array}{l}x=-1, \\ y=2\end{array} $.
(2) 如答图所示.