12. （8分）（2025·鼓楼区一模）不等式 $ 2 x - 1 ≤ 13 $ 的解集中，$ x $ 的最大值是 $ m $. 不等式 $ - 3 x - 1 ≤ - 7 $ 的解集中，$ x $ 的最小值为 $ n $. 求不等式 $ n x + m n ＜ m x $ 的解集.
答案：12.解:解不等式2x−1≤13,得x≤7,则m=7.
解不等式−3x−1≤−7,得x≥2,则n=2,
代入nx+mn＜mx,得2x+14＜7x,
解得x＞$\frac{14}{5}$.
解不等式−3x−1≤−7,得x≥2,则n=2,
代入nx+mn＜mx,得2x+14＜7x,
解得x＞$\frac{14}{5}$.
13. （10分）当 $ x $ 同时满足 $ 3 x - ( 2 a - 3 ) = 4 x + a + 4 $ 与不等式 $ \frac { 2 x - 1 } { 3 } ≤ \frac { 2 x + 1 } { 2 } - 1 $ 时，求 $ a $ 的取值范围.
答案：13.解:解方程3x−(2a−3)=4x+a+4,得x=−3a−1.解不等式$\frac{2x−1}{3} ≤ \frac{2x+1}{2}-1$,得x≥$\frac{1}{2}$.
由题意,得−3a−1≥$\frac{1}{2}$,解得a≤−$\frac{1}{2}$.
由题意,得−3a−1≥$\frac{1}{2}$,解得a≤−$\frac{1}{2}$.
14. （12分）（2024·姜堰区月考）已知不等式 $ 6 x - 1 ＞ 2 ( x + m ) - 3 $.
（1）若它的解集与不等式 $ \frac { x - 5 } { 2 } + 1 ＜ x + 3 $ 的解集相同，求 $ m $ 的值；
（2）若它的解都是不等式 $ \frac { x - 5 } { 2 } + 1 ＜ x + 3 $ 的解，求 $ m $ 的取值范围.
（1）若它的解集与不等式 $ \frac { x - 5 } { 2 } + 1 ＜ x + 3 $ 的解集相同，求 $ m $ 的值；
（2）若它的解都是不等式 $ \frac { x - 5 } { 2 } + 1 ＜ x + 3 $ 的解，求 $ m $ 的取值范围.
答案：14.解:解不等式6x−1＞2(x+m)−3,得x＞$\frac{m−1}{2}$.
(1)解$\frac{x−5}{2}$+1＜x+3,得x＞−9,所以$\frac{m−1}{2}$=−9,解得m=−17.
(2)解不等式$\frac{x−5}{2}$+1＜x+3,得x＞−9,
因为6x−1＞2(x+m)−3的解都是不等式$\frac{x−5}{2}$+1＜x+3的解，
所以$\frac{m−1}{2}$≥−9,解得m≥−17.
(1)解$\frac{x−5}{2}$+1＜x+3,得x＞−9,所以$\frac{m−1}{2}$=−9,解得m=−17.
(2)解不等式$\frac{x−5}{2}$+1＜x+3,得x＞−9,
因为6x−1＞2(x+m)−3的解都是不等式$\frac{x−5}{2}$+1＜x+3的解，
所以$\frac{m−1}{2}$≥−9,解得m≥−17.
15. （12分）已知关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程组 $ \{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 3 k - 2, } \\ { 2 x + y = 1 - k } \end{array} $（$ k $ 为常数）.
（1）求这个二元一次方程组的解；（用含 $ k $ 的代数式表示）
（2）若方程组的解满足 $ x - y ＞ 5 $，求 $ k $ 的取值范围；
（3）若 $ ( 4 x + 2 ) ^ { 2 y - 1 } = 1 $，求 $ k $ 的值；
（4）若 $ k ≤ 1 $，设 $ m = 2 x - 3 y $ 且 $ m $ 为正整数，求 $ m $ 的值.
（1）求这个二元一次方程组的解；（用含 $ k $ 的代数式表示）
（2）若方程组的解满足 $ x - y ＞ 5 $，求 $ k $ 的取值范围；
（3）若 $ ( 4 x + 2 ) ^ { 2 y - 1 } = 1 $，求 $ k $ 的值；
（4）若 $ k ≤ 1 $，设 $ m = 2 x - 3 y $ 且 $ m $ 为正整数，求 $ m $ 的值.
答案：15.解:(1)
$\begin{cases}2x - y = 3k - 2, &①\\2x + y = 1 - k, &②\end{cases}$
①+②,得4x=2k−1,解得x=$\frac{2k−1}{4}$,
②−①,得2y=3−4k,解得y=$\frac{3−4k}{2}$,
所以二元一次方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{2k - 1}{4}\\y = \frac{3 - 4k}{2}\end{cases}$
(2)因为方程组的解x,y满足x−y＞5,所以$\frac{2k−1}{4}$−$\frac{3−4k}{2}$＞5,解得k＞$\frac{27}{10}$.
(3)若$(4x + 2)^{2y - 1} = 1$,则$4×\frac{2k - 1}{4} + 2 = 1$或$4×\frac{2k - 1}{4} + 2 = -1$且$2×\frac{3 - 4k}{2} - 1$为偶数或$2×\frac{3 - 4k}{2} - 1 = 0$且$4×\frac{2k - 1}{4} + 2 ≠ 0$,
解得k = 0或k = -1或k = $\frac{1}{2}$.
(4)因为$m = 2×\frac{2k - 1}{4} - 3×\frac{3 - 4k}{2} = 7k - 5$,所以$k = \frac{m + 5}{7} ≤ 1$,解得m ≤ 2.
因为m是正整数,所以m的值是1或2.
$\begin{cases}2x - y = 3k - 2, &①\\2x + y = 1 - k, &②\end{cases}$
①+②,得4x=2k−1,解得x=$\frac{2k−1}{4}$,
②−①,得2y=3−4k,解得y=$\frac{3−4k}{2}$,
所以二元一次方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{2k - 1}{4}\\y = \frac{3 - 4k}{2}\end{cases}$
(2)因为方程组的解x,y满足x−y＞5,所以$\frac{2k−1}{4}$−$\frac{3−4k}{2}$＞5,解得k＞$\frac{27}{10}$.
(3)若$(4x + 2)^{2y - 1} = 1$,则$4×\frac{2k - 1}{4} + 2 = 1$或$4×\frac{2k - 1}{4} + 2 = -1$且$2×\frac{3 - 4k}{2} - 1$为偶数或$2×\frac{3 - 4k}{2} - 1 = 0$且$4×\frac{2k - 1}{4} + 2 ≠ 0$,
解得k = 0或k = -1或k = $\frac{1}{2}$.
(4)因为$m = 2×\frac{2k - 1}{4} - 3×\frac{3 - 4k}{2} = 7k - 5$,所以$k = \frac{m + 5}{7} ≤ 1$,解得m ≤ 2.
因为m是正整数,所以m的值是1或2.