1. 已知 $ a^{x} = -2 $，$ a^{y} = 3 $。求下列各式的值：
$ (1)a^{x + y} $，$ a^{x - y} $；
$ (2)a^{3x} $；
$ (3)a^{3x + 2y} $。
$ (1)a^{x + y} $，$ a^{x - y} $；
$ (2)a^{3x} $；
$ (3)a^{3x + 2y} $。
答案：1. 解：(1)因为$a^{x}=-2$，$a^{y}=3$，
所以$a^{x+y}=a^{x}· a^{y}=-2×3=-6$，
$a^{x-y}=a^{x}÷ a^{y}=-2÷3=-\frac{2}{3}$。
(2)因为$a^{x}=-2$，所以$a^{3x}=(a^{x})^{3}=(-2)^{3}=-8$。
(3)因为$a^{x}=-2$，$a^{y}=3$，所以$a^{3x+2y}=(a^{3x})·(a^{2y})=(a^{x})^{3}·(a^{y})^{2}=(-2)^{3}×3^{2}=-8×9=-72$。
所以$a^{x+y}=a^{x}· a^{y}=-2×3=-6$，
$a^{x-y}=a^{x}÷ a^{y}=-2÷3=-\frac{2}{3}$。
(2)因为$a^{x}=-2$，所以$a^{3x}=(a^{x})^{3}=(-2)^{3}=-8$。
(3)因为$a^{x}=-2$，$a^{y}=3$，所以$a^{3x+2y}=(a^{3x})·(a^{2y})=(a^{x})^{3}·(a^{y})^{2}=(-2)^{3}×3^{2}=-8×9=-72$。
2. (2024·海安月考)已知 $ a - 3b = 2 $。求下列各式的值：
$ (1)2^{a} ÷ (2^{b})^{3} $；
$ (2)3^{a} · 27^{-b} $。
$ (1)2^{a} ÷ (2^{b})^{3} $；
$ (2)3^{a} · 27^{-b} $。
答案：2. 解：(1)原式$=2^{a}÷2^{3b}=2^{a-3b}=2^{2}=4$。
(2)原式$=3^{a}·3^{-3b}=3^{a-3b}=3^{2}=9$。
(2)原式$=3^{a}·3^{-3b}=3^{a-3b}=3^{2}=9$。
3. (2024·昆山期末)已知 $ x^{a} = 2 $，$ x^{b} = 4 $，$ x^{c} = 8 $。
$ (1) $试说明：$ a + c = 2b $；
$ (2) $求 $ x^{a - b + 2c} $的值。
$ (1) $试说明：$ a + c = 2b $；
$ (2) $求 $ x^{a - b + 2c} $的值。
答案：3. 解：(1)因为$x^{a}=2$，$x^{b}=4$，$x^{c}=8$，
所以$x^{a+c}=x^{a}· x^{c}=2×8=16$，$x^{2b}=(x^{b})^{2}=16$，
所以$a+c=2b$。
(2)因为$x^{a}=2$，$x^{b}=4$，$x^{c}=8$，
所以$x^{a-b+2c}=x^{a}÷ x^{b}·(x^{c})^{2}=2÷4×8^{2}=\frac{1}{2}×64=32$。
所以$x^{a+c}=x^{a}· x^{c}=2×8=16$，$x^{2b}=(x^{b})^{2}=16$，
所以$a+c=2b$。
(2)因为$x^{a}=2$，$x^{b}=4$，$x^{c}=8$，
所以$x^{a-b+2c}=x^{a}÷ x^{b}·(x^{c})^{2}=2÷4×8^{2}=\frac{1}{2}×64=32$。
4. $ (1) $比较 $ 2^{55} $，$ 3^{44} $，$ 4^{33} $的大小；
$ (2) $比较 $ 2^{-333} $，$ 3^{-222} $，$ 5^{-111} $的大小。
$ (2) $比较 $ 2^{-333} $，$ 3^{-222} $，$ 5^{-111} $的大小。
答案：4. 解：(1)因为$2^{555}=(2^{5})^{111}=32^{111}$，$3^{444}=(3^{4})^{111}=81^{111}$，
$4^{333}=(4^{3})^{111}=64^{111}$，
又因为$81＞64＞32$，所以$3^{444}＞4^{333}＞2^{555}$。
(2)因为$2^{-333}=(2^{-3})^{111}=(\frac{1}{8})^{111}$，$3^{-222}=(3^{-2})^{111}=(\frac{1}{9})^{111}$，$5^{-111}=(5^{-1})^{111}=(\frac{1}{5})^{111}$，
又因为$\frac{1}{5}＞\frac{1}{8}＞\frac{1}{9}$，
所以$5^{-111}＞2^{-333}＞3^{-222}$。
$4^{333}=(4^{3})^{111}=64^{111}$，
又因为$81＞64＞32$，所以$3^{444}＞4^{333}＞2^{555}$。
(2)因为$2^{-333}=(2^{-3})^{111}=(\frac{1}{8})^{111}$，$3^{-222}=(3^{-2})^{111}=(\frac{1}{9})^{111}$，$5^{-111}=(5^{-1})^{111}=(\frac{1}{5})^{111}$，
又因为$\frac{1}{5}＞\frac{1}{8}＞\frac{1}{9}$，
所以$5^{-111}＞2^{-333}＞3^{-222}$。
5. 用简便方法计算下列各题：
$ (1)(-\dfrac{1}{2})^{-2} - (-\dfrac{2}{3})^{2024} × (\dfrac{3}{2})^{2025} - 2^{2} + (3 - π)^{0} $；
$ (2)(3\dfrac{1}{8})^{12} × (\dfrac{8}{25})^{11} × (-2)^{3} $。
$ (1)(-\dfrac{1}{2})^{-2} - (-\dfrac{2}{3})^{2024} × (\dfrac{3}{2})^{2025} - 2^{2} + (3 - π)^{0} $；
$ (2)(3\dfrac{1}{8})^{12} × (\dfrac{8}{25})^{11} × (-2)^{3} $。
答案：5. 解：(1)原式$=4-(-\frac{2}{3}×\frac{3}{2})^{2024}×\frac{3}{2}-4+1=4-1×1.5-4+1=4-1.5-4+1=-0.5$。
(2)原式$=\frac{25}{8}×(\frac{25}{8})^{11}×(\frac{8}{25})^{11}×(-8)=-25×(\frac{25}{8}×\frac{8}{25})^{11}=-25$。
(2)原式$=\frac{25}{8}×(\frac{25}{8})^{11}×(\frac{8}{25})^{11}×(-8)=-25×(\frac{25}{8}×\frac{8}{25})^{11}=-25$。