1. 如图，点 B，C 在直线 l 上，直线 l 外有一点 A，连接 AB，AC，∠BAC = 45°，∠ACB 是钝角，将三角形 ABC 沿着直线 l 向右平移得到三角形 A₁B₁C₁，连接 AB₁，在平移过程中，当∠AB₁A₁ = 2∠CAB₁时，∠CAB₁的度数是(
A.15°
B.30°
C.15°或 45°
D.30°或 45°
C
)A.15°
B.30°
C.15°或 45°
D.30°或 45°
答案：
1.C 点拨:当点$B_1$在线段$BC$上时，如答图①,
∵$AB // A_1B_1$，
∴$∠ AB_1A_1 = ∠ BAB_1$，
∵$∠ AB_1A_1 = 2 ∠ CAB_1$，
∴$∠ B_1AC = \frac{1}{3} ∠ BAC = 15^{\circ}$。当点$B_1$在$BC$的延长线上时，如答图②，
∵$AB // A_1B_1$，
∴$∠ AB_1A_1 = ∠ BAB_1$，
∵$∠ AB_1A_1 = 2 ∠ CAB_1$，
∴$∠ CAB_1 = 45^{\circ}$。
1.C 点拨:当点$B_1$在线段$BC$上时，如答图①,
∵$AB // A_1B_1$，
∴$∠ AB_1A_1 = ∠ BAB_1$，
∵$∠ AB_1A_1 = 2 ∠ CAB_1$，
∴$∠ B_1AC = \frac{1}{3} ∠ BAC = 15^{\circ}$。当点$B_1$在$BC$的延长线上时，如答图②，
∵$AB // A_1B_1$，
∴$∠ AB_1A_1 = ∠ BAB_1$，
∵$∠ AB_1A_1 = 2 ∠ CAB_1$，
∴$∠ CAB_1 = 45^{\circ}$。
2. 如图，将线段 AB 平移得到线段 CD，点 P 在 AC 延长线上，点 Q 在射线 OB 上，∠PCD，∠QBA 的平分线所在直线相交于点 E，若∠OAB = α，∠OBA = β，则∠CEB =
$\frac{α + β}{2}$或$90^{\circ} - \frac{α + β}{2}$
.(用 α，β 表示)答案：
2.$\frac{α + β}{2}$或$90^{\circ} - \frac{α + β}{2}$ 点拨:当点$Q$在点$B$左侧时，设$BE$交$OP$于点$M$，如答图①所示，由平移可知，$CD // AB$，
∴$∠ OCD = ∠ OAB = α$，
∴$∠ PCD = 180^{\circ} - α$。
∵$CN$平分$∠ PCD$，
∴$∠ PCN = \frac{1}{2} ∠ PCD = 90^{\circ} - \frac{1}{2} α$，
∴$∠ ECM = ∠ PCN = 90^{\circ} - \frac{1}{2} α$。
∵$BE$平分$∠ QBA$，
∴$∠ ABE = \frac{1}{2} ∠ QBA = \frac{1}{2} β$，
∴$∠ AMB = 180^{\circ} - α - \frac{1}{2} β$，
∴$∠ CEB = ∠ AMB - ∠ ECM = 90^{\circ} - \frac{α + β}{2}$。当点$Q$在点$B$右侧时，设$BE$交$CD$于点$H$，如答图②所示，同理可得，$∠ ECH = 90^{\circ} - \frac{1}{2} α$，$∠ ABH = 90^{\circ} - \frac{1}{2} β$，由平移可知，$CD // AB$，
∴$∠ CHE = ∠ ABH = 90^{\circ} - \frac{1}{2} β$，
∴$∠ CEB = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \frac{1}{2} α) - (90^{\circ} - \frac{1}{2} β) = \frac{α + β}{2}$。综上所述，$∠ CEB$的度数为$\frac{α + β}{2}$或$90^{\circ} - \frac{α + β}{2}$。
2.$\frac{α + β}{2}$或$90^{\circ} - \frac{α + β}{2}$ 点拨:当点$Q$在点$B$左侧时，设$BE$交$OP$于点$M$，如答图①所示，由平移可知，$CD // AB$，
∴$∠ OCD = ∠ OAB = α$，
∴$∠ PCD = 180^{\circ} - α$。
∵$CN$平分$∠ PCD$，
∴$∠ PCN = \frac{1}{2} ∠ PCD = 90^{\circ} - \frac{1}{2} α$，
∴$∠ ECM = ∠ PCN = 90^{\circ} - \frac{1}{2} α$。
∵$BE$平分$∠ QBA$，
∴$∠ ABE = \frac{1}{2} ∠ QBA = \frac{1}{2} β$，
∴$∠ AMB = 180^{\circ} - α - \frac{1}{2} β$，
∴$∠ CEB = ∠ AMB - ∠ ECM = 90^{\circ} - \frac{α + β}{2}$。当点$Q$在点$B$右侧时，设$BE$交$CD$于点$H$，如答图②所示，同理可得，$∠ ECH = 90^{\circ} - \frac{1}{2} α$，$∠ ABH = 90^{\circ} - \frac{1}{2} β$，由平移可知，$CD // AB$，
∴$∠ CHE = ∠ ABH = 90^{\circ} - \frac{1}{2} β$，
∴$∠ CEB = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \frac{1}{2} α) - (90^{\circ} - \frac{1}{2} β) = \frac{α + β}{2}$。综上所述，$∠ CEB$的度数为$\frac{α + β}{2}$或$90^{\circ} - \frac{α + β}{2}$。
3. （2024·宜兴期中）如图，EF // GH，点 A 在 EF 上，点 B，C 在 GH 上. 在△ABC 中，∠ACB = 90°，∠BAC = 30°. 点 M，Q 在直线 AB 上，在△MNQ 中，∠NMQ = 90°，∠MNQ = 45°.
（1）将△MNQ 沿直线 AB 平移，当点 N 在 EF 上时，请画出图形并求∠ANQ 的度数；
（2）将△MNQ 沿直线 AB 平移，当以 A，Q，N 为顶点的三角形中，有两个角相等时，请画出示意图并直接写出∠QAN 的度数.
（1）将△MNQ 沿直线 AB 平移，当点 N 在 EF 上时，请画出图形并求∠ANQ 的度数；
（2）将△MNQ 沿直线 AB 平移，当以 A，Q，N 为顶点的三角形中，有两个角相等时，请画出示意图并直接写出∠QAN 的度数.
答案：
3.解:(1)如答图①，
∵$∠ ACB = 90^{\circ}$，$∠ BAC = 30^{\circ}$，
∴$∠ ABC = 60^{\circ}$。
∵$EF // GH$，
∴$∠ NAM = ∠ ABC = 60^{\circ}$。
∵$∠ NMQ = 90^{\circ}$，即$∠ AMN = 90^{\circ}$，
∴$∠ ANM = 30^{\circ}$。
∵$∠ MNQ = 45^{\circ}$，
∴$∠ ANQ = 30^{\circ} + 45^{\circ} = 75^{\circ}$。
(2)①$∠ ANQ = ∠ AQN$时，如答图②，
此时$∠ AQN = ∠ ANQ = ∠ MNQ = 45^{\circ}$，
∴$∠ NAQ = 90^{\circ}$；
②$∠ QAN = ∠ AQN$时，如答图③，
∵$∠ NMQ = 90^{\circ}$，$∠ MNQ = 45^{\circ}$，
∴$∠ MQN = 45^{\circ}$，
∴$∠ QAN = ∠ AQN = 45^{\circ}$；
③$∠ ANQ = ∠ QAN$时，如答图④，
∵$∠ NMQ = 90^{\circ}$，$∠ MNQ = 45^{\circ}$，
∴$∠ NQA = 45^{\circ}$，
∴$∠ QAN = ∠ ANQ = \frac{1}{2} (180^{\circ} - ∠ NQA) = 67.5^{\circ}$；
④$∠ QNA = ∠ QAN$时，如答图⑤，
∵$∠ NMQ = 90^{\circ}$，$∠ MNQ = 45^{\circ}$，
∴$∠ MQN = 45^{\circ}$。
∵$∠ QNA = ∠ QAN$，
∴$∠ QAN = \frac{1}{2} ∠ MQN = 22.5^{\circ}$。
综上，$∠ QAN$的度数为$22.5^{\circ}$，$45^{\circ}$，$67.5^{\circ}$或$90^{\circ}$。
3.解:(1)如答图①，
∵$∠ ACB = 90^{\circ}$，$∠ BAC = 30^{\circ}$，
∴$∠ ABC = 60^{\circ}$。
∵$EF // GH$，
∴$∠ NAM = ∠ ABC = 60^{\circ}$。
∵$∠ NMQ = 90^{\circ}$，即$∠ AMN = 90^{\circ}$，
∴$∠ ANM = 30^{\circ}$。
∵$∠ MNQ = 45^{\circ}$，
∴$∠ ANQ = 30^{\circ} + 45^{\circ} = 75^{\circ}$。
(2)①$∠ ANQ = ∠ AQN$时，如答图②，
此时$∠ AQN = ∠ ANQ = ∠ MNQ = 45^{\circ}$，
∴$∠ NAQ = 90^{\circ}$；
②$∠ QAN = ∠ AQN$时，如答图③，
∵$∠ NMQ = 90^{\circ}$，$∠ MNQ = 45^{\circ}$，
∴$∠ MQN = 45^{\circ}$，
∴$∠ QAN = ∠ AQN = 45^{\circ}$；
③$∠ ANQ = ∠ QAN$时，如答图④，
∵$∠ NMQ = 90^{\circ}$，$∠ MNQ = 45^{\circ}$，
∴$∠ NQA = 45^{\circ}$，
∴$∠ QAN = ∠ ANQ = \frac{1}{2} (180^{\circ} - ∠ NQA) = 67.5^{\circ}$；
④$∠ QNA = ∠ QAN$时，如答图⑤，
∵$∠ NMQ = 90^{\circ}$，$∠ MNQ = 45^{\circ}$，
∴$∠ MQN = 45^{\circ}$。
∵$∠ QNA = ∠ QAN$，
∴$∠ QAN = \frac{1}{2} ∠ MQN = 22.5^{\circ}$。
综上，$∠ QAN$的度数为$22.5^{\circ}$，$45^{\circ}$，$67.5^{\circ}$或$90^{\circ}$。