1. (2024·连云区期末)如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放。其中含 $30^{\circ}$ 角的三角尺 $ABC$ 固定不动，将含 $45^{\circ}$ 角的三角尺 $DBE$ 绕顶点 $B$ 顺时针转动(转动角度小于 $180^{\circ}$)。当 $DE$ 与三角尺 $ABC$ 的其中一条边所在的直线互相平行时，$∠ ABE$ 的度数是(
A.$15^{\circ}$ 或 $45^{\circ}$ 或 $60^{\circ}$
B.$45^{\circ}$ 或 $60^{\circ}$ 或 $75^{\circ}$
C.$15^{\circ}$ 或 $45^{\circ}$ 或 $105^{\circ}$
D.$60^{\circ}$ 或 $75^{\circ}$ 或 $105^{\circ}$
C
)A.$15^{\circ}$ 或 $45^{\circ}$ 或 $60^{\circ}$
B.$45^{\circ}$ 或 $60^{\circ}$ 或 $75^{\circ}$
C.$15^{\circ}$ 或 $45^{\circ}$ 或 $105^{\circ}$
D.$60^{\circ}$ 或 $75^{\circ}$ 或 $105^{\circ}$
答案：1. C
解析：
情况一：当 $DE // AC$ 时
过点 $B$ 作 $BF // AC$，则 $BF // DE$。
$∠ ABF = ∠ A = 30°$，$∠ FBE = ∠ D = 45°$，
$∠ ABE = ∠ ABF + ∠ FBE = 30° + 45° = 75°$（此情况不满足选项，舍去）。
情况二：当 $DE // BC$ 时
$∠ D = 45°$，$DE // BC$，则 $∠ DBC = ∠ D = 45°$。
$∠ ABC = 60°$，$∠ ABE = ∠ ABC - ∠ DBC = 60° - 45° = 15°$。
情况三：当 $DE // AB$ 时
$∠ E = 45°$，$DE // AB$，则 $∠ ABE = ∠ E = 45°$。
情况四：当 $DE // AB$ 的反向延长线时
$∠ E = 45°$，$DE // AB$，则 $∠ ABE = 180° - 45° = 135°$（转动角度超过 $180°$，舍去）。
情况五：当 $DE // BC$ 的反向延长线时
$∠ D = 45°$，$DE // BC$，则 $∠ DBC = 180° - 45° = 135°$，
$∠ ABE = ∠ DBC - ∠ ABC = 135° - 60° = 75°$（此情况不满足选项，舍去）。
情况六：当 $DE // AC$ 的反向延长线时
$∠ D = 45°$，$DE // AC$，则 $∠ ABD = 180° - 30° - 45° = 105°$，
$∠ ABE = ∠ ABD = 105°$。
综上，$∠ ABE$ 的度数是 $15°$ 或 $45°$ 或 $105°$。
答案：C
过点 $B$ 作 $BF // AC$，则 $BF // DE$。
$∠ ABF = ∠ A = 30°$，$∠ FBE = ∠ D = 45°$，
$∠ ABE = ∠ ABF + ∠ FBE = 30° + 45° = 75°$（此情况不满足选项，舍去）。
情况二：当 $DE // BC$ 时
$∠ D = 45°$，$DE // BC$，则 $∠ DBC = ∠ D = 45°$。
$∠ ABC = 60°$，$∠ ABE = ∠ ABC - ∠ DBC = 60° - 45° = 15°$。
情况三：当 $DE // AB$ 时
$∠ E = 45°$，$DE // AB$，则 $∠ ABE = ∠ E = 45°$。
情况四：当 $DE // AB$ 的反向延长线时
$∠ E = 45°$，$DE // AB$，则 $∠ ABE = 180° - 45° = 135°$（转动角度超过 $180°$，舍去）。
情况五：当 $DE // BC$ 的反向延长线时
$∠ D = 45°$，$DE // BC$，则 $∠ DBC = 180° - 45° = 135°$，
$∠ ABE = ∠ DBC - ∠ ABC = 135° - 60° = 75°$（此情况不满足选项，舍去）。
情况六：当 $DE // AC$ 的反向延长线时
$∠ D = 45°$，$DE // AC$，则 $∠ ABD = 180° - 30° - 45° = 105°$，
$∠ ABE = ∠ ABD = 105°$。
综上，$∠ ABE$ 的度数是 $15°$ 或 $45°$ 或 $105°$。
答案：C
2. (2024·宜兴期末)如图，将一副三角尺按如图所示放置，$∠ CAB=∠ DAE = 90^{\circ}$，$∠ C = 45^{\circ}$，$∠ E = 30^{\circ}$，且 $AD＜ AC$，则下列结论中：① $∠ 1=∠ 3 = 45^{\circ}$；② 若 $AD$ 平分 $∠ CAB$，则有 $BC// AE$；③ 将三角形 $ADE$ 绕点 $A$ 旋转，使得点 $D$ 落在线段 $AC$ 上，则此时 $∠ 4 = 15^{\circ}$；④ 若 $∠ 3 = 2∠ 2$，则 $∠ C=∠ 4$。其中正确的结论是
②③④
。(填序号)答案：2. ②③④
3. (2024·锡山区模拟)在 $△ ABC$ 中，三个内角的平分线交于点 $O$，过点 $O$ 作 $∠ ODC=∠ AOC$，交边 $BC$ 于点 $D$。
(1) 如图①，求出 $∠ AOC$ 与 $∠ ABC$ 的数量关系。
(2) 如图①，$∠ BOD$ 的度数为
(3) 如图②，作 $∠ ABC$ 外角 $∠ ABE$ 的平分线交 $CO$ 的延长线于点 $F$。
① 求证：$BF// OD$；
② 若 $∠ F=∠ ABC = 40^{\circ}$，将 $△ BOD$ 绕点 $O$ 顺时针旋转一定角度 $α$ 后得 $△ B'OD'$($0^{\circ}＜α＜360^{\circ}$)，$B'D'$ 所在直线与 $FC$ 平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度 $α$ 的值。
(1) 如图①，求出 $∠ AOC$ 与 $∠ ABC$ 的数量关系。
(2) 如图①，$∠ BOD$ 的度数为
90°
。(3) 如图②，作 $∠ ABC$ 外角 $∠ ABE$ 的平分线交 $CO$ 的延长线于点 $F$。
① 求证：$BF// OD$；
② 若 $∠ F=∠ ABC = 40^{\circ}$，将 $△ BOD$ 绕点 $O$ 顺时针旋转一定角度 $α$ 后得 $△ B'OD'$($0^{\circ}＜α＜360^{\circ}$)，$B'D'$ 所在直线与 $FC$ 平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度 $α$ 的值。
答案：3. (1) 解：
∵三个内角的平分线交于点 O，
∴∠OAC + ∠OCA = $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠ACB)。
∵∠BAC + ∠ACB = 180° - ∠ABC，
∴∠OAC + ∠OCA = $\frac{1}{2}$(180° - ∠ABC) = 90° - $\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠AOC = 180° - (∠OAC + ∠OCA) = 90° + $\frac{1}{2}$∠ABC。
(2) 90° 点拨：
∵三个内角的平分线交于点 O，
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠AOC = 90° + $\frac{1}{2}$∠ABC = 90° + ∠OBC。
∵∠ODC = ∠BOD + ∠OBC = ∠AOC，
∴∠BOD = 90°。
(3) ①证明：
∵BF 平分∠ABE，
∴∠EBF = $\frac{1}{2}$∠ABE = $\frac{1}{2}$(180° - ∠ABC) =
∵三个内角的平分线交于点 O，
∴∠OAC + ∠OCA = $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠ACB)。
∵∠BAC + ∠ACB = 180° - ∠ABC，
∴∠OAC + ∠OCA = $\frac{1}{2}$(180° - ∠ABC) = 90° - $\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠AOC = 180° - (∠OAC + ∠OCA) = 90° + $\frac{1}{2}$∠ABC。
(2) 90° 点拨：
∵三个内角的平分线交于点 O，
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠AOC = 90° + $\frac{1}{2}$∠ABC = 90° + ∠OBC。
∵∠ODC = ∠BOD + ∠OBC = ∠AOC，
∴∠BOD = 90°。
(3) ①证明：
∵BF 平分∠ABE，
∴∠EBF = $\frac{1}{2}$∠ABE = $\frac{1}{2}$(180° - ∠ABC) =