1. (2024·靖江期中)如图，将长方形 $ABCD$ 的一角折叠，以 $CE$ (点 $E$ 在 $AB$ 上，不与点 $A$，$B$ 重合)为折痕，得到 $∠ CB'E$，连接 $AB'$，设 $∠ DCB'$，$∠ AB'E$ 的度数分别为 $α$，$β$，若 $AB'// EC$，则 $α$，$β$ 之间的关系是(
A.$β = 2α$
B.$β = 45^{\circ}+\frac{α}{2}$
C.$β = 45^{\circ}+α$
D.$β = 90^{\circ}-α$
B
)A.$β = 2α$
B.$β = 45^{\circ}+\frac{α}{2}$
C.$β = 45^{\circ}+α$
D.$β = 90^{\circ}-α$
答案：1. B 点拨：
∵以 CE（点 E 在 AB 上，不与点 A，B 重合）为折痕，得到∠CB'E，
∴∠B'CE = ∠BCE，∠B'EC = ∠BEC。
∵设∠DCB'，∠AB'E 的度数分别为α，β，且四边形 ABCD 是长方形，
∴∠B'CE = ∠BCE = $\frac{1}{2}(90^{\circ}-α)$，∠B'EC = ∠BEC = $90^{\circ}-\frac{1}{2}(90^{\circ}-α)=45^{\circ}+\frac{α}{2}$。
∵AB' // EC，
∴∠B'EC = ∠AB'E = β = $45^{\circ}+\frac{α}{2}$。
∵以 CE（点 E 在 AB 上，不与点 A，B 重合）为折痕，得到∠CB'E，
∴∠B'CE = ∠BCE，∠B'EC = ∠BEC。
∵设∠DCB'，∠AB'E 的度数分别为α，β，且四边形 ABCD 是长方形，
∴∠B'CE = ∠BCE = $\frac{1}{2}(90^{\circ}-α)$，∠B'EC = ∠BEC = $90^{\circ}-\frac{1}{2}(90^{\circ}-α)=45^{\circ}+\frac{α}{2}$。
∵AB' // EC，
∴∠B'EC = ∠AB'E = β = $45^{\circ}+\frac{α}{2}$。
2. (2024·仪征期末)如图，已知线段 $OC$ 与直线 $AB$ 的夹角 $∠ BOC = 70^{\circ}$，点 $M$ 在 $OC$ 上，$N$ 是直线 $AB$ 上的一个动点，将 $△ OMN$ 沿 $MN$ 折叠，使点 $O$ 落在点 $O'$ 处，当 $CO'// AB$ 时，则 $∠ CO'M+∠ ONO'=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$。
答案：
2. 70 或 110 点拨：分两种情况：当点 N 在射线 OA 上运动时，如答图①，延长 CO'到点 D，
∵∠BOC = 70°，
∴∠NOC = $180^{\circ}-∠BOC = 110^{\circ}$，由折叠得∠NO'M = ∠NOM = 110°。
∵CO' // AB，
∴∠ONO' = ∠DO'N，
∴∠CO'M + ∠ONO' = ∠CO'M + ∠DO'N = $180^{\circ}-∠NO'M = 70^{\circ}$；当点 N 在射线 OB 上运动时，如答图②，延长 CO'到点 E，由折叠得∠BOC = ∠NO'M = 70°。
∵CO' // AB，
∴∠ONO' = ∠EO'N，
∴∠CO'M + ∠ONO' = ∠CO'M + ∠EO'N = $180^{\circ}-∠NO'M = 110^{\circ}$。综上所述，当 CO' // AB 时，∠CO'M + ∠ONO' 的度数为 70°或 110°。
2. 70 或 110 点拨：分两种情况：当点 N 在射线 OA 上运动时，如答图①，延长 CO'到点 D，
∵∠BOC = 70°，
∴∠NOC = $180^{\circ}-∠BOC = 110^{\circ}$，由折叠得∠NO'M = ∠NOM = 110°。
∵CO' // AB，
∴∠ONO' = ∠DO'N，
∴∠CO'M + ∠ONO' = ∠CO'M + ∠DO'N = $180^{\circ}-∠NO'M = 70^{\circ}$；当点 N 在射线 OB 上运动时，如答图②，延长 CO'到点 E，由折叠得∠BOC = ∠NO'M = 70°。
∵CO' // AB，
∴∠ONO' = ∠EO'N，
∴∠CO'M + ∠ONO' = ∠CO'M + ∠EO'N = $180^{\circ}-∠NO'M = 110^{\circ}$。综上所述，当 CO' // AB 时，∠CO'M + ∠ONO' 的度数为 70°或 110°。
3. (2024·无锡期中)如图，将 $△ ABC$ 沿线段 $BC$ 翻折至 $△ FBC$ 处，延长 $AC$，$BD$ (点 $F$ 在 $∠ EAD$ 内部)。
(1)请直接写出 $∠ ECF$，$∠ DBF$ 与 $∠ A$ 的数量关系为
(2)若 $CG$ 平分 $∠ ECF$，$BH$ 平分 $∠ FBD$。点 $F$ 在 $∠ A$ 内部(如图②)，求证：$CG// BH$；
(3)若射线 $CG$，$BH$ 分别是 $∠ ECF$，$∠ DBF$ 的 $n$ 等分线 ($n$ 为大于 $2$ 的正整数)，即 $∠ GCF=\frac{1}{n}∠ ECF$，$∠ HBF=\frac{1}{n}∠ DBF$，射线 $CG$ 和射线 $BH$ 相交于点 $O$。请直接写出 $∠ A$ 与 $∠ BOC$ 的数量关系：
(1)请直接写出 $∠ ECF$，$∠ DBF$ 与 $∠ A$ 的数量关系为
∠ECF + ∠DBF = 2∠A
；(2)若 $CG$ 平分 $∠ ECF$，$BH$ 平分 $∠ FBD$。点 $F$ 在 $∠ A$ 内部(如图②)，求证：$CG// BH$；
(3)若射线 $CG$，$BH$ 分别是 $∠ ECF$，$∠ DBF$ 的 $n$ 等分线 ($n$ 为大于 $2$ 的正整数)，即 $∠ GCF=\frac{1}{n}∠ ECF$，$∠ HBF=\frac{1}{n}∠ DBF$，射线 $CG$ 和射线 $BH$ 相交于点 $O$。请直接写出 $∠ A$ 与 $∠ BOC$ 的数量关系：
∠BOC = $\frac{n - 2}{n}∠A$
。答案：3. (1) ∠ECF + ∠DBF = 2∠A
(2) 证明：
∵将△ABC 沿线段 BC 翻折至△FBC 处，
∴∠ACB = ∠BCF。
∵∠ACB + ∠BCF = ∠ACF，
∴∠BCF = $\frac{1}{2}∠ACF$。
∵CG 平分∠ECF，
∴∠GCF = $\frac{1}{2}∠ECF$，
∴∠BCG = ∠BCF + ∠GCF = $\frac{1}{2}∠ACF + \frac{1}{2}∠ECF = \frac{1}{2}(∠ACF + ∠ECF) = 90^{\circ}$，同理∠CBH = 90°，
∴∠BCG + ∠CBH = $180^{\circ}$，
∴CG // BH。
(3) ∠BOC = $\frac{n - 2}{n}∠A$ 点拨：
∵∠GCF = $\frac{1}{n}∠ECF$，∠HBF = $\frac{1}{n}∠DBF$，
∴∠ECF = n∠GCF，∠DBF = n∠HBF，
∴∠ECF + ∠DBF = n∠HBF + n∠GCF = n(∠HBF + ∠GCF)。由(1)知∠ECF + ∠DBF = 2∠A，
∴n(∠HBF + ∠GCF) = 2∠A，
∴∠HBF + ∠GCF = $\frac{2}{n}∠A$。
∵∠BOC = $180^{\circ}-(∠BCO + ∠CBO) = 180^{\circ}-(∠BCF + ∠GCF + ∠CBF + ∠HBF) = 180^{\circ}-(∠BCF + ∠CBF) - (∠GCF + ∠HBF) = 180^{\circ}-(∠ACB + ∠ABC) - \frac{2}{n}∠A = ∠A - \frac{2}{n}∠A = \frac{n - 2}{n}∠A$。
(2) 证明：
∵将△ABC 沿线段 BC 翻折至△FBC 处，
∴∠ACB = ∠BCF。
∵∠ACB + ∠BCF = ∠ACF，
∴∠BCF = $\frac{1}{2}∠ACF$。
∵CG 平分∠ECF，
∴∠GCF = $\frac{1}{2}∠ECF$，
∴∠BCG = ∠BCF + ∠GCF = $\frac{1}{2}∠ACF + \frac{1}{2}∠ECF = \frac{1}{2}(∠ACF + ∠ECF) = 90^{\circ}$，同理∠CBH = 90°，
∴∠BCG + ∠CBH = $180^{\circ}$，
∴CG // BH。
(3) ∠BOC = $\frac{n - 2}{n}∠A$ 点拨：
∵∠GCF = $\frac{1}{n}∠ECF$，∠HBF = $\frac{1}{n}∠DBF$，
∴∠ECF = n∠GCF，∠DBF = n∠HBF，
∴∠ECF + ∠DBF = n∠HBF + n∠GCF = n(∠HBF + ∠GCF)。由(1)知∠ECF + ∠DBF = 2∠A，
∴n(∠HBF + ∠GCF) = 2∠A，
∴∠HBF + ∠GCF = $\frac{2}{n}∠A$。
∵∠BOC = $180^{\circ}-(∠BCO + ∠CBO) = 180^{\circ}-(∠BCF + ∠GCF + ∠CBF + ∠HBF) = 180^{\circ}-(∠BCF + ∠CBF) - (∠GCF + ∠HBF) = 180^{\circ}-(∠ACB + ∠ABC) - \frac{2}{n}∠A = ∠A - \frac{2}{n}∠A = \frac{n - 2}{n}∠A$。