1. (2024·江阴校级期中)已知 $ a = 2^{55} $，$ b = 3^{33} $，$ c = 6^{22} $，比较 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小关系是(
A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ a ＜ c ＜ b $
C.$ b ＜ c ＜ a $
D.$ b ＜ a ＜ c $
D
)A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ a ＜ c ＜ b $
C.$ b ＜ c ＜ a $
D.$ b ＜ a ＜ c $
答案：1. D
解析：
$a = 2^{55} = (2^5)^{11} = 32^{11}$，$b = 3^{33} = (3^3)^{11} = 27^{11}$，$c = 6^{22} = (6^2)^{11} = 36^{11}$。
因为$27^{11} ＜ 32^{11} ＜ 36^{11}$，所以$b ＜ a ＜ c$。
D
因为$27^{11} ＜ 32^{11} ＜ 36^{11}$，所以$b ＜ a ＜ c$。
D
2. 计算：
(1) $ 0.25^{9} × 2^{20} × 25^{9} × 64^{3} $；
(2) $ 3^{5} × 8^{4} × ( - \dfrac { 1 } { 12 } ) ^ { 7 } $.
(1) $ 0.25^{9} × 2^{20} × 25^{9} × 64^{3} $；
(2) $ 3^{5} × 8^{4} × ( - \dfrac { 1 } { 12 } ) ^ { 7 } $.
答案：2. 解：(1) 原式$=0.25^{9}×2^{20}×5^{18}×4^{9}=(0.25×4)^{9}×(2×5)^{18}×2^{2}=1^{9}×10^{18}×2^{2}=4×10^{18}.$
(2) 原式$=-3^{5}×2^{12}×\frac {1}{3^{7}×2^{14}}=-\frac {1}{36}.$
(2) 原式$=-3^{5}×2^{12}×\frac {1}{3^{7}×2^{14}}=-\frac {1}{36}.$
3. 已知 $ 2 ^ { 4 m + 8 } · 9 ^ { m + 2 } = 12 ^ { 3 m + 2 } $，求 $ m $ 的值.
答案：3. 解：$2^{4m+8}· 9^{m+2}=2^{2(2m+4)}· 3^{2(m+2)}=4^{(2m+4)}· 3^{2m+4}=12^{2m+4}=12^{3m+2}$，则$2m+4=3m+2$，解得$m=2.$
解析：
解：$2^{4m+8}·9^{m+2}=2^{2(2m+4)}·3^{2(m+2)}=4^{2m+4}·3^{2m+4}=(4×3)^{2m+4}=12^{2m+4}$，
因为$2^{4m+8}·9^{m+2}=12^{3m+2}$，所以$12^{2m+4}=12^{3m+2}$，
则$2m+4=3m+2$，解得$m=2$。
因为$2^{4m+8}·9^{m+2}=12^{3m+2}$，所以$12^{2m+4}=12^{3m+2}$，
则$2m+4=3m+2$，解得$m=2$。
4. (1)若 $ a ^ { 3 } = 2 $，$ b ^ { 5 } = 3 $，比较 $ a $，$ b $ 的大小；
(2)比较 $ 17 ^ { 14 } $ 与 $ 31 ^ { 11 } $ 的大小.
(2)比较 $ 17 ^ { 14 } $ 与 $ 31 ^ { 11 } $ 的大小.
答案：4. 解：(1) 因为$a^{15}=(a^{3})^{5}=2^{5}=32$，$b^{15}=(b^{5})^{3}=3^{3}=27$，且$32＞27$，所以$a^{15}＞b^{15}$，所以$a＞b$.
(2) 因为$17^{14}＞16^{14}$，所以$17^{14}＞2^{56}＞2^{55}$. 因为$2^{55}=32^{11}$，$32^{11}＞31^{11}$，所以$17^{14}＞31^{11}$.
(2) 因为$17^{14}＞16^{14}$，所以$17^{14}＞2^{56}＞2^{55}$. 因为$2^{55}=32^{11}$，$32^{11}＞31^{11}$，所以$17^{14}＞31^{11}$.
5. 已知 $ 2 ^ { a } = 5 ^ { b } = 10 $，判断 $ a + b $ 和 $ a b $ 的大小关系.
答案：5. 解：$\because 2^{a}=10$，$\therefore (2^{a})^{b}=10^{b}$，$2^{ab}=10^{b}$. ①
$\because 5^{b}=10$，$\therefore (5^{b})^{a}=10^{a}$，$5^{ab}=10^{a}$. ②
①×②，得$2^{ab}×5^{ab}=(2×5)^{ab}=10^{ab}$，$2^{ab}×5^{ab}=10^{a}×10^{b}=10^{a+b}$，
$ab=a+b$.
$\because 5^{b}=10$，$\therefore (5^{b})^{a}=10^{a}$，$5^{ab}=10^{a}$. ②
①×②，得$2^{ab}×5^{ab}=(2×5)^{ab}=10^{ab}$，$2^{ab}×5^{ab}=10^{a}×10^{b}=10^{a+b}$，
$ab=a+b$.