1. 如果 $10^{b}=n$，那么称 $b$ 为 $n$ 的“拉格数”，记为 $d(n)$，由定义可知：$d(n)=b$。如 $10^{2}=100$，则 $d(100)=d(10^{2})=2$，给出下列关于“拉格数”$d(n)$ 的结论：①$d(10)=10$；②$d(10^{-2})=-2$；③$\frac{d(10^{3})}{d(10)}=3$；④$d(mn)=d(m)+d(n)$；⑤$d(\frac{m}{n})=d(m)÷ d(n)$。其中，正确的结论有(
A.①③④
B.②③④
C.②③⑤
D.②④⑤
B
)A.①③④
B.②③④
C.②③⑤
D.②④⑤
答案：1. B 点拨: 由题意, $\because 10^{1}=10,d(10)=1$, 故①错误; $\because 10^{-2}=10^{-2},\therefore d(10^{-2})=-2$, 故②正确; $\because d(10^{3})=3,d(10)=1,\therefore \frac {d(10^{3})}{d(10)}=3$, 故③正确; 设 $10^{a}=m,10^{b}=n,\therefore 10^{a+b}=10^{a}· 10^{b}=mn,\therefore d(mn)=a+b,\therefore d(m)=a,d(n)=b,\therefore d(m)+d(n)=a+b,\therefore d(mn)=d(m)+d(n)$, 故④正确; $\therefore d(m)÷ d(n)=\frac {a}{b},\because 10^{a-b}=10^{a}÷ 10^{b}=\frac {m}{n},\therefore d(\frac {m}{n})=a-b,\therefore d(\frac {m}{n})≠ d(m)÷ d(n)$, 故⑤错误. 综上正确的有②③④.
2. (2024·惠山区期中)我们知道，同底数幂的乘法法则为 $a^{m}· a^{n}=a^{m + n}$(其中 $a≠0$，$m$，$n$ 为正整数)，类似地我们规定关于任意正整数 $m$，$n$ 的一种新运算：$h(m + n)=h(m)· h(n)$；若 $h(2)=3$，则 $h(4)=h(2 + 2)=3×3 = 9$，那么 $h(2n)· h(2024)=$。
答案：2. $3^{n + 1012}$ 点拨: $\because h(m + n)=h(m)· h(n),h(2)=3,\therefore h(2n)· h(2024)=h(\underbrace {2 + 2 +... + 2}_{n个})· h(\underbrace {2 + 2 +... + 2}_{1012个})=\underbrace {h(2)· h(2)... · h(2)}_{n个}× \underbrace {h(2)· h(2)... · h(2)}_{1012个}=3^{n}· 3^{1012}=3^{n + 1012}$.
解析：
$3^{n + 1012}$
3. (2024·相城区校级月考)一般的，若 $a^{x}=N$($a＞0$ 且 $a≠1$)，那么 $x$ 叫作以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作 $x=\log_{a}N$，比如指数式 $2^{3}=8$ 可以转化为对数式 $3=\log_{2}8$，对数式 $2=\log_{6}36$ 可转化为指数式 $6^{2}=36$，根据以上材料，解决下列问题：
(1) 计算：$\log_{2}4=$，$\log_{2}16=$，$\log_{2}64=$；
(2) 观察(1)，猜想：$\log_{a}M+\log_{a}N=$；($a＞0$ 且 $a≠1$，$M＞0$，$N＞0$)
(3) 已知 $\log_{a}3 = 5$，求 $\log_{a}9$ 的值。($a＞0$ 且 $a≠1$)
(1) 计算：$\log_{2}4=$，$\log_{2}16=$，$\log_{2}64=$；
(2) 观察(1)，猜想：$\log_{a}M+\log_{a}N=$；($a＞0$ 且 $a≠1$，$M＞0$，$N＞0$)
(3) 已知 $\log_{a}3 = 5$，求 $\log_{a}9$ 的值。($a＞0$ 且 $a≠1$)
答案：3. (1) 2 4 6
(2) $\log _{a}MN$ 点拨: 设 $\log _{a}M = x,\log _{a}N = y$, 则 $a^{x}=M,a^{y}=N,\therefore M· N = a^{x}· a^{y}=a^{x + y}$, 根据对数的定义, $x + y = \log _{a}MN$, 即 $\log _{a}M + \log _{a}N = \log _{a}MN$.
(3) 解: 由 $\log _{a}3 = 5$, 得 $a^{5}=3,\because 9 = 3× 3 = a^{5}· a^{5}=a^{10}$, $\therefore$ 根据对数的定义 $\log _{a}9 = 10$.
(2) $\log _{a}MN$ 点拨: 设 $\log _{a}M = x,\log _{a}N = y$, 则 $a^{x}=M,a^{y}=N,\therefore M· N = a^{x}· a^{y}=a^{x + y}$, 根据对数的定义, $x + y = \log _{a}MN$, 即 $\log _{a}M + \log _{a}N = \log _{a}MN$.
(3) 解: 由 $\log _{a}3 = 5$, 得 $a^{5}=3,\because 9 = 3× 3 = a^{5}· a^{5}=a^{10}$, $\therefore$ 根据对数的定义 $\log _{a}9 = 10$.