1. (2024·南京模拟)以一个碳-12原子质量的$\frac{1}{12}$为标准，其他原子的质量与它相比，得到相对原子质量，即相对原子质量$=\frac{原子的质量}{1个碳-12原子质量×\frac{1}{12}}$。已知一个碳-12原子的质量约$1.993×10^{-26}$kg，D原子的相对原子质量是4，则估算D原子的质量用科学记数法表示为(
A.$7.972×10^{-26}$kg
B.$9.566×10^{-25}$kg
C.$6.643×10^{-27}$kg
D.$4.983×10^{-27}$kg
C
)A.$7.972×10^{-26}$kg
B.$9.566×10^{-25}$kg
C.$6.643×10^{-27}$kg
D.$4.983×10^{-27}$kg
答案：1. C
解析：
设D原子的质量为$m$。
由相对原子质量公式：$\mathrm{相对原子质量}=\frac{\mathrm{原子的质量}}{1个碳-12原子质量×\frac{1}{12}}$，已知D原子相对原子质量为4，碳-12原子质量约$1.993×10^{-26}\ \mathrm{kg}$，则：
$4 = \frac{m}{1.993×10^{-26}\ \mathrm{kg}×\frac{1}{12}}$
$m = 4×1.993×10^{-26}\ \mathrm{kg}×\frac{1}{12}$
$m≈\frac{7.972×10^{-26}}{12}\ \mathrm{kg}≈6.643×10^{-27}\ \mathrm{kg}$
C
由相对原子质量公式：$\mathrm{相对原子质量}=\frac{\mathrm{原子的质量}}{1个碳-12原子质量×\frac{1}{12}}$，已知D原子相对原子质量为4，碳-12原子质量约$1.993×10^{-26}\ \mathrm{kg}$，则：
$4 = \frac{m}{1.993×10^{-26}\ \mathrm{kg}×\frac{1}{12}}$
$m = 4×1.993×10^{-26}\ \mathrm{kg}×\frac{1}{12}$
$m≈\frac{7.972×10^{-26}}{12}\ \mathrm{kg}≈6.643×10^{-27}\ \mathrm{kg}$
C
2. 定义一种新运算$\int_{b}^{a}n\ x^{n - 1}dx = a^{n} - b^{n}$，例如$\int_{m}^{k}2xdx = k^{2} - m^{2}$。则$\int_{2}^{4}-x^{-2}dx =$
$-\dfrac{1}{4}$
。答案：2. $-\dfrac{1}{4}$ 点拨：由题意得$\int_{2}^{4}-x^{-2}dx=4^{-1}-2^{-1}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}$.
3. (1)已知$a = 2^{-4444}$，$b = 3^{-3333}$，$c = 5^{-2222}$，请用“＞”把它们连接起来，并说明理由；
(2)请探索使得等式$(2x + 3)^{x + 2020} = 1$成立的x的值。
(2)请探索使得等式$(2x + 3)^{x + 2020} = 1$成立的x的值。
答案：3. 解：(1)$a＞c＞b$. 理由如下：
$a=(2^{-4})^{11111}=(\dfrac{1}{2^{4}})^{11111}=(\dfrac{1}{16})^{11111}$，
$b=(3^{-3})^{11111}=(\dfrac{1}{3^{3}})^{11111}=(\dfrac{1}{27})^{11111}$，
$c=(5^{-2})^{11111}=(\dfrac{1}{5^{2}})^{11111}=(\dfrac{1}{25})^{11111}$，
因为$\dfrac{1}{16}＞\dfrac{1}{25}＞\dfrac{1}{27}$，所以$(\dfrac{1}{16})^{11111}＞(\dfrac{1}{25})^{11111}＞(\dfrac{1}{27})^{11111}$，所以$a＞c＞b$.
(2)当$x+2020=0$时，$x=-2020$，此时$2x+3=-4037≠0$，符合题意；
当$2x+3=1$时，$x=-1$，符合题意；
当$2x+3=-1$时，$x=-2$，此时$x+2020=2018$，符合题意.
综上所述，$x$的值为$-2$或$-1$或$-2020$.
$a=(2^{-4})^{11111}=(\dfrac{1}{2^{4}})^{11111}=(\dfrac{1}{16})^{11111}$，
$b=(3^{-3})^{11111}=(\dfrac{1}{3^{3}})^{11111}=(\dfrac{1}{27})^{11111}$，
$c=(5^{-2})^{11111}=(\dfrac{1}{5^{2}})^{11111}=(\dfrac{1}{25})^{11111}$，
因为$\dfrac{1}{16}＞\dfrac{1}{25}＞\dfrac{1}{27}$，所以$(\dfrac{1}{16})^{11111}＞(\dfrac{1}{25})^{11111}＞(\dfrac{1}{27})^{11111}$，所以$a＞c＞b$.
(2)当$x+2020=0$时，$x=-2020$，此时$2x+3=-4037≠0$，符合题意；
当$2x+3=1$时，$x=-1$，符合题意；
当$2x+3=-1$时，$x=-2$，此时$x+2020=2018$，符合题意.
综上所述，$x$的值为$-2$或$-1$或$-2020$.
4. 已知a是不小于1的数，且有$a^{3} + a^{-3} = p$，$a^{3} - a^{-3} = q$成立。
(1)若$p + q = 4$，求$p - q$的值；
(2)若$p - q = 2$，试写出满足条件的p，q的值，并求出此时a的值。
(1)若$p + q = 4$，求$p - q$的值；
(2)若$p - q = 2$，试写出满足条件的p，q的值，并求出此时a的值。
答案：4. 解：(1)$\because p+q=4$，$\therefore a^{3}+a^{-3}+a^{3}-a^{-3}=4$，$\therefore 2a^{3}=4$，
$\therefore a^{3}=2$，$\therefore a^{-3}=\dfrac{1}{a^{3}}=\dfrac{1}{2}$，$\therefore p-q=a^{3}+a^{-3}-a^{3}+a^{-3}=2a^{-3}=1$.
(2)$\because p-q=2a^{-3}$，$\therefore 2a^{-3}=2$，$a^{-3}=1$，$\therefore \dfrac{1}{a^{3}}=1$，$\therefore a=1$，
$\therefore p=1+1=2$，$q=1-1=0$.
$\therefore a^{3}=2$，$\therefore a^{-3}=\dfrac{1}{a^{3}}=\dfrac{1}{2}$，$\therefore p-q=a^{3}+a^{-3}-a^{3}+a^{-3}=2a^{-3}=1$.
(2)$\because p-q=2a^{-3}$，$\therefore 2a^{-3}=2$，$a^{-3}=1$，$\therefore \dfrac{1}{a^{3}}=1$，$\therefore a=1$，
$\therefore p=1+1=2$，$q=1-1=0$.