21. (10分)(2024·泗阳期中)如图，在△ABC中，∠B=∠ACB，∠A=40°，射线CP从射线CA开始绕点C按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜70°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD处，射线CA'与射线AB相交于点E.
(1)若AB⊥CE，求α的度数；
(2)设∠A'DB=β，探究α与β之间的数量关系.
(1)若AB⊥CE，求α的度数；
(2)设∠A'DB=β，探究α与β之间的数量关系.
答案：
21. 解：(1)因为$AB ⊥ CE$，所以$∠ AEC = 90^{\circ}$.
又因为$∠ A = 40^{\circ}$，所以$∠ ACE = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$.
由翻折的性质可知，$∠ ACE = 2α$，所以$α = \frac{1}{2} × 50^{\circ} = 25^{\circ}$.
(2)当点$A'$在射线AB下方时，
因为$∠ A = 40^{\circ}$，$∠ ACD = α$，所以$∠ ADC = 180^{\circ} - ∠ A - ∠ ACD = 180^{\circ} - 40^{\circ} - α = 140^{\circ} - α$，所以$∠ CDE = 180^{\circ} - ∠ ADC = 180^{\circ} - (140^{\circ} - α) = α + 40^{\circ}$.
由折叠的性质可知，$∠ A' = ∠ A = 40^{\circ}$，$∠ ADC = ∠ A'DC$，
又因为$∠ ADC = 140^{\circ} - α$，$∠ A'DC = ∠ CDE + ∠ A'DB = α + 40^{\circ} + β$，
所以$140^{\circ} - α = α + 40^{\circ} + β$，即$2α + β = 100^{\circ}$；
当点$A'$在射线AB上方时，如答图，
因为$∠ A = 40^{\circ}$，$∠ ACE = 2α$，
所以$∠ CEA = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 2α = 140^{\circ} - 2α$.
因为$∠ CEA + ∠ A'DB + ∠ DA'E = 180^{\circ}$，$∠ CA'D + ∠ DA'E = 180^{\circ}$，
所以$∠ CEA + ∠ A'DB = ∠ CA'D$，
又因为$∠ CA'D = ∠ A = 40^{\circ}$，
所以$140^{\circ} - 2α + β = 40^{\circ}$，所以$2α - β = 100^{\circ}$.
综上所述，$α$与$β$之间的数量关系为$2α + β = 100^{\circ}$或$2α - β = 100^{\circ}$.
21. 解：(1)因为$AB ⊥ CE$，所以$∠ AEC = 90^{\circ}$.
又因为$∠ A = 40^{\circ}$，所以$∠ ACE = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$.
由翻折的性质可知，$∠ ACE = 2α$，所以$α = \frac{1}{2} × 50^{\circ} = 25^{\circ}$.
(2)当点$A'$在射线AB下方时，
因为$∠ A = 40^{\circ}$，$∠ ACD = α$，所以$∠ ADC = 180^{\circ} - ∠ A - ∠ ACD = 180^{\circ} - 40^{\circ} - α = 140^{\circ} - α$，所以$∠ CDE = 180^{\circ} - ∠ ADC = 180^{\circ} - (140^{\circ} - α) = α + 40^{\circ}$.
由折叠的性质可知，$∠ A' = ∠ A = 40^{\circ}$，$∠ ADC = ∠ A'DC$，
又因为$∠ ADC = 140^{\circ} - α$，$∠ A'DC = ∠ CDE + ∠ A'DB = α + 40^{\circ} + β$，
所以$140^{\circ} - α = α + 40^{\circ} + β$，即$2α + β = 100^{\circ}$；
当点$A'$在射线AB上方时，如答图，
因为$∠ A = 40^{\circ}$，$∠ ACE = 2α$，
所以$∠ CEA = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 2α = 140^{\circ} - 2α$.
因为$∠ CEA + ∠ A'DB + ∠ DA'E = 180^{\circ}$，$∠ CA'D + ∠ DA'E = 180^{\circ}$，
所以$∠ CEA + ∠ A'DB = ∠ CA'D$，
又因为$∠ CA'D = ∠ A = 40^{\circ}$，
所以$140^{\circ} - 2α + β = 40^{\circ}$，所以$2α - β = 100^{\circ}$.
综上所述，$α$与$β$之间的数量关系为$2α + β = 100^{\circ}$或$2α - β = 100^{\circ}$.
22. (10分)(2024·太仓期末)已知“两点之间，线段最短”，我们经常利用它来解决两线段和最小值问题.
【实践运用】(1)唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：如图①所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后，再到B点宿营，请问怎样走才能使总的路程最短？画出最短路径并说明理由；
【拓展延伸】(2)如图②，P，Q是△ABC的边AC，AB上的两个定点，请在BC上找一点R，使得△PQR的周长最短.（要求：尺规作图，不写作图过程，保留作图痕迹）
【实践运用】(1)唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：如图①所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后，再到B点宿营，请问怎样走才能使总的路程最短？画出最短路径并说明理由；
【拓展延伸】(2)如图②，P，Q是△ABC的边AC，AB上的两个定点，请在BC上找一点R，使得△PQR的周长最短.（要求：尺规作图，不写作图过程，保留作图痕迹）
答案：
22. 解：(1)如答图①，从点A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上取点$A'$，使得$A'D = AD$，连接$A'B$，与河岸相交于点C，则点C就是饮马的地方，$AC + CB$即为最短路径.
理由：如答图①，如果将军在河边的另外任意点$C'$饮马，所走的路程就是$AC' + C'B$，因为$AC = A'C'$，所以$AC' + C'B = A'C' + C'B ＞ A'B = A'C + CB = AC + BC$，即$AC' + BC' ＞ AC + CB$，所以在点C外任意一点饮马，所走的路程都要远些.
(2)如答图②，点R即为所求.
22. 解：(1)如答图①，从点A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上取点$A'$，使得$A'D = AD$，连接$A'B$，与河岸相交于点C，则点C就是饮马的地方，$AC + CB$即为最短路径.
理由：如答图①，如果将军在河边的另外任意点$C'$饮马，所走的路程就是$AC' + C'B$，因为$AC = A'C'$，所以$AC' + C'B = A'C' + C'B ＞ A'B = A'C + CB = AC + BC$，即$AC' + BC' ＞ AC + CB$，所以在点C外任意一点饮马，所走的路程都要远些.
(2)如答图②，点R即为所求.
23. (12分)(2024·姑苏区期中)(1)如图①，AB//CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC=3∠BEF，过点A作AG⊥EF交EF于点G，FK平分∠AFE，AK平分∠PAG，FK与AK交于点K.
①∠AKF=
②若∠FAG=$\frac{1}{2}$∠BEF，求∠FBE的度数.
(2)如图②，将②中确定的△BEF绕着点F以每秒4°的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒，△AFG保持不变，当边BF与射线FA重合时停止，则在旋转过程中，△BEF的边BE所在的直线与△AFG的某一边所在的直线垂直时，直接写出此时t的值.
①∠AKF=
45
°；②若∠FAG=$\frac{1}{2}$∠BEF，求∠FBE的度数.
(2)如图②，将②中确定的△BEF绕着点F以每秒4°的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒，△AFG保持不变，当边BF与射线FA重合时停止，则在旋转过程中，△BEF的边BE所在的直线与△AFG的某一边所在的直线垂直时，直接写出此时t的值.
答案：
23. (1)①45
②解：因为$AG ⊥ EF$，所以$∠ AGE = ∠ AGF = 90^{\circ}$，
所以$∠ EFA + ∠ FAG = 90^{\circ}$.
因为$∠ FAG = \frac{1}{2} ∠ BEF$，
所以$∠ EFH + ∠ HFA + \frac{1}{2} ∠ BEF = 90^{\circ}$.
因为$AB // CD$，所以$∠ FBE = ∠ BEC$，$∠ CEF = ∠ AFE = ∠ EFH + ∠ HFA$.
又因为$∠ CEF = ∠ BEC + ∠ BEF$，$∠ BEC = 3∠ BEF$，
所以$∠ CEF = 4∠ BEF$，
所以$4∠ BEF + \frac{1}{2} ∠ BEF = 90^{\circ}$，解得$∠ BEF = 20^{\circ}$，
所以$∠ BEC = 3∠ BEF = 60^{\circ}$，所以$∠ FBE = ∠ BEC = 60^{\circ}$.
(2)解：由②可得$∠ FBE = 60^{\circ}$，$∠ BEF = 20^{\circ}$，$∠ FAG = \frac{1}{2} ∠ BEF = 10^{\circ}$，$∠ AFG = 80^{\circ}$，$∠ BFE = 100^{\circ}$.
当$B'E' ⊥ FG$时，如答图①.
因为$∠ FE'B' = 20^{\circ}$，
所以$∠ EFE' = 90^{\circ} - 20^{\circ} = 70^{\circ}$，
所以$∠ B'FE = 100^{\circ} - 70^{\circ} = 30^{\circ}$，
所以$∠ BFB' = 100^{\circ} - ∠ B'FE = 70^{\circ}$，
此时旋转时间$t = \frac{70}{4} = 17.5$（秒）；
当$B'E' ⊥ AF$时，如答图②.
因为$∠ FE'B' = 20^{\circ}$，
所以$∠ AFE' = 90^{\circ} - 20^{\circ} = 70^{\circ}$，
所以$∠ B'FA = 100^{\circ} - 70^{\circ} = 30^{\circ}$，
所以$∠ BFB' = 180^{\circ} - ∠ B'FA = 150^{\circ}$，
此时旋转时间$t = \frac{150}{4} = 37.5$（秒）；
当$B'E' ⊥ AG$时，如答图③.
因为$∠ FAG = 10^{\circ}$，所以$∠ B'HA = 90^{\circ} - 10^{\circ} = 80^{\circ} = ∠ E'HF$.
因为$∠ FE'B' = 20^{\circ}$，
所以$∠ E'FA = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 20^{\circ} = 80^{\circ}$，
所以$∠ B'FA = 100^{\circ} - 80^{\circ} = 20^{\circ}$，
所以$∠ BFB' = 180^{\circ} - ∠ B'FA = 160^{\circ}$，
此时旋转时间$t = \frac{160}{4} = 40$（秒）.
综上，此时t的值为17.5或37.5或40.
23. (1)①45
②解：因为$AG ⊥ EF$，所以$∠ AGE = ∠ AGF = 90^{\circ}$，
所以$∠ EFA + ∠ FAG = 90^{\circ}$.
因为$∠ FAG = \frac{1}{2} ∠ BEF$，
所以$∠ EFH + ∠ HFA + \frac{1}{2} ∠ BEF = 90^{\circ}$.
因为$AB // CD$，所以$∠ FBE = ∠ BEC$，$∠ CEF = ∠ AFE = ∠ EFH + ∠ HFA$.
又因为$∠ CEF = ∠ BEC + ∠ BEF$，$∠ BEC = 3∠ BEF$，
所以$∠ CEF = 4∠ BEF$，
所以$4∠ BEF + \frac{1}{2} ∠ BEF = 90^{\circ}$，解得$∠ BEF = 20^{\circ}$，
所以$∠ BEC = 3∠ BEF = 60^{\circ}$，所以$∠ FBE = ∠ BEC = 60^{\circ}$.
(2)解：由②可得$∠ FBE = 60^{\circ}$，$∠ BEF = 20^{\circ}$，$∠ FAG = \frac{1}{2} ∠ BEF = 10^{\circ}$，$∠ AFG = 80^{\circ}$，$∠ BFE = 100^{\circ}$.
当$B'E' ⊥ FG$时，如答图①.
因为$∠ FE'B' = 20^{\circ}$，
所以$∠ EFE' = 90^{\circ} - 20^{\circ} = 70^{\circ}$，
所以$∠ B'FE = 100^{\circ} - 70^{\circ} = 30^{\circ}$，
所以$∠ BFB' = 100^{\circ} - ∠ B'FE = 70^{\circ}$，
此时旋转时间$t = \frac{70}{4} = 17.5$（秒）；
当$B'E' ⊥ AF$时，如答图②.
因为$∠ FE'B' = 20^{\circ}$，
所以$∠ AFE' = 90^{\circ} - 20^{\circ} = 70^{\circ}$，
所以$∠ B'FA = 100^{\circ} - 70^{\circ} = 30^{\circ}$，
所以$∠ BFB' = 180^{\circ} - ∠ B'FA = 150^{\circ}$，
此时旋转时间$t = \frac{150}{4} = 37.5$（秒）；
当$B'E' ⊥ AG$时，如答图③.
因为$∠ FAG = 10^{\circ}$，所以$∠ B'HA = 90^{\circ} - 10^{\circ} = 80^{\circ} = ∠ E'HF$.
因为$∠ FE'B' = 20^{\circ}$，
所以$∠ E'FA = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 20^{\circ} = 80^{\circ}$，
所以$∠ B'FA = 100^{\circ} - 80^{\circ} = 20^{\circ}$，
所以$∠ BFB' = 180^{\circ} - ∠ B'FA = 160^{\circ}$，
此时旋转时间$t = \frac{160}{4} = 40$（秒）.
综上，此时t的值为17.5或37.5或40.