一、选择题(每小题 2 分，共 16 分)
1. (2024·崇川区期中)已知方程组$\begin{cases}3x - y = - 2,\\x - 3y = 10,\end{cases}$则$x - y$的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
1. (2024·崇川区期中)已知方程组$\begin{cases}3x - y = - 2,\\x - 3y = 10,\end{cases}$则$x - y$的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：1. B
解析：
$\begin{cases}3x - y = - 2,\\x - 3y = 10,\end{cases}$
将两式相加得：$4x - 4y = 8$，
两边同时除以$4$得：$x - y = 2$。
B
将两式相加得：$4x - 4y = 8$，
两边同时除以$4$得：$x - y = 2$。
B
2. 用加减消元法解方程组$\begin{cases}2x + y = 3,①\\x - y = 4,②\end{cases}$适合的方法是( )
A.① - ②
B.① + ②
C.①×2 + ②
D.②×2 + ①
A.① - ②
B.① + ②
C.①×2 + ②
D.②×2 + ①
答案：2. B
3. (2024·滨湖区期末)方程$5x - 2y = 4$与下列方程构成的方程组的解为$\begin{cases}x = 2,\\y = 3\end{cases}$的是( )
A.$2x + y = 7$
B.$2x - y = 5$
C.$x - 2y = - 3$
D.$x + y = 10$
A.$2x + y = 7$
B.$2x - y = 5$
C.$x - 2y = - 3$
D.$x + y = 10$
答案：3. A
解析：
将$x = 2$，$y = 3$分别代入各选项：
选项A：$2x + y = 2×2 + 3 = 7$，等式成立。
选项B：$2x - y = 2×2 - 3 = 1 ≠ 5$，等式不成立。
选项C：$x - 2y = 2 - 2×3 = -4 ≠ -3$，等式不成立。
选项D：$x + y = 2 + 3 = 5 ≠ 10$，等式不成立。
A
选项A：$2x + y = 2×2 + 3 = 7$，等式成立。
选项B：$2x - y = 2×2 - 3 = 1 ≠ 5$，等式不成立。
选项C：$x - 2y = 2 - 2×3 = -4 ≠ -3$，等式不成立。
选项D：$x + y = 2 + 3 = 5 ≠ 10$，等式不成立。
A
4. (2024·辽宁)我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有 35 个头，94 条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有$x$只，兔有$y$只，根据题意可列方程组为(
A.$\begin{cases}x + y = 94,\\4x + 2y = 35\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 94,\\2x + 4y = 35\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 35,\\4x + 2y = 94\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 35,\\2x + 4y = 94\end{cases}$
D
)A.$\begin{cases}x + y = 94,\\4x + 2y = 35\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 94,\\2x + 4y = 35\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 35,\\4x + 2y = 94\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 35,\\2x + 4y = 94\end{cases}$
答案：4. D
5. (2024·吴江区期末)已知关于$x$，$y$的二元一次方程$3x - 2y = t$，其取值如下表，则$p$的值为(
A.2022
B.2023
C.2024
D.2025
B
)A.2022
B.2023
C.2024
D.2025
答案：5. B
解析：
解：当$x = m$，$y = n$时，$3m - 2n = -2$。
当$x = m + 405$，$y = n - 405$时，$t = p$，
则$p = 3(m + 405) - 2(n - 405)$
$= 3m + 1215 - 2n + 810$
$= (3m - 2n) + 2025$
$= -2 + 2025$
$= 2023$
B
当$x = m + 405$，$y = n - 405$时，$t = p$，
则$p = 3(m + 405) - 2(n - 405)$
$= 3m + 1215 - 2n + 810$
$= (3m - 2n) + 2025$
$= -2 + 2025$
$= 2023$
B
6. 若关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}2x - y = 5k + 6,\\4x + 7y = k\end{cases}$的解满足$x + y = 2022$，则$k$的值为( )
A.2020
B.2021
C.2022
D.2023
A.2020
B.2021
C.2022
D.2023
答案：6. B
解析：
解：$\begin{cases}2x - y = 5k + 6,①\\4x + 7y = k,②\end{cases}$
①+②得：$6x + 6y = 6k + 6$
两边同时除以6得：$x + y = k + 1$
因为$x + y = 2022$，所以$k + 1 = 2022$
解得$k = 2021$
B
①+②得：$6x + 6y = 6k + 6$
两边同时除以6得：$x + y = k + 1$
因为$x + y = 2022$，所以$k + 1 = 2022$
解得$k = 2021$
B
7. (2024·相城区月考)二元一次方程$2x + 3y = 8$的正整数解的个数是(
A.0
B.1
C.2
D.3
B
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案：7. B
解析：
要找到二元一次方程$2x + 3y = 8$的正整数解，需满足$x＞0$，$y＞0$且$x$，$y$为整数。
由方程$2x + 3y = 8$可得$x=\frac{8 - 3y}{2}$。
因为$x$是正整数，所以$8 - 3y$必须是正偶数，即$8 - 3y＞0$，解得$y＜\frac{8}{3}\approx2.67$，所以$y$可能的正整数取值为$1$，$2$。
当$y = 1$时，$x=\frac{8 - 3×1}{2}=\frac{5}{2}=2.5$，不是整数，舍去；
当$y = 2$时，$x=\frac{8 - 3×2}{2}=\frac{2}{2}=1$，是正整数，符合条件。
综上，方程$2x + 3y = 8$的正整数解只有$1$个。
答案：B
由方程$2x + 3y = 8$可得$x=\frac{8 - 3y}{2}$。
因为$x$是正整数，所以$8 - 3y$必须是正偶数，即$8 - 3y＞0$，解得$y＜\frac{8}{3}\approx2.67$，所以$y$可能的正整数取值为$1$，$2$。
当$y = 1$时，$x=\frac{8 - 3×1}{2}=\frac{5}{2}=2.5$，不是整数，舍去；
当$y = 2$时，$x=\frac{8 - 3×2}{2}=\frac{2}{2}=1$，是正整数，符合条件。
综上，方程$2x + 3y = 8$的正整数解只有$1$个。
答案：B
8. (2024·泗洪县期末)一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团 25 人准备同时租用这三种客房共 9 间，如果每个房间都住满，则租房方案共有(
A.4 种
B.3 种
C.2 种
D.1 种
B
)A.4 种
B.3 种
C.2 种
D.1 种
答案：8. B
解析：
设二人间$x$间，三人间$y$间，四人间$z$间。
依题意得：
$\begin{cases}x + y + z = 9 \\2x + 3y + 4z = 25\end{cases}$
消去$x$得：$y + 2z = 7$，即$y = 7 - 2z$。
因为$x,y,z$为正整数，所以：
当$z=1$时，$y=5$，$x=3$；
当$z=2$时，$y=3$，$x=4$；
当$z=3$时，$y=1$，$x=5$。
共3种方案。
B
依题意得：
$\begin{cases}x + y + z = 9 \\2x + 3y + 4z = 25\end{cases}$
消去$x$得：$y + 2z = 7$，即$y = 7 - 2z$。
因为$x,y,z$为正整数，所以：
当$z=1$时，$y=5$，$x=3$；
当$z=2$时，$y=3$，$x=4$；
当$z=3$时，$y=1$，$x=5$。
共3种方案。
B