三、解答题(共50分)
11. (8分)计算:
(1)$(x + 1)^{2}-x(x - 1)$;
(2)$(-2x^{3})^{2}-3x^{5}· x^{3}÷ x^{2}$.
11. (8分)计算:
(1)$(x + 1)^{2}-x(x - 1)$;
(2)$(-2x^{3})^{2}-3x^{5}· x^{3}÷ x^{2}$.
答案：11. 解：(1)原式$=x^{2}+2x + 1 - x^{2}+x = 3x + 1$。
(2)原式$=4x^{6}-3x^{6}=x^{6}$。
(2)原式$=4x^{6}-3x^{6}=x^{6}$。
12. (8分)已知$x + y = 3$,$xy = -8$,求下列各式的值:
(1)$x^{2}+y^{2}$;
(2)$(x^{2}-1)(y^{2}-1)$.
(1)$x^{2}+y^{2}$;
(2)$(x^{2}-1)(y^{2}-1)$.
答案：12. 解：(1)$\because x + y = 3$，$xy = - 8$，
$\therefore$原式$=(x + y)^{2}-2xy = 3^{2}-2×(-8)=25$。
(2)$\because x + y = 3$，$xy = - 8$，
$\therefore$原式$=x^{2}y^{2}-(x^{2}+y^{2})+1 = (-8)^{2}-25 + 1 = 40$。
$\therefore$原式$=(x + y)^{2}-2xy = 3^{2}-2×(-8)=25$。
(2)$\because x + y = 3$，$xy = - 8$，
$\therefore$原式$=x^{2}y^{2}-(x^{2}+y^{2})+1 = (-8)^{2}-25 + 1 = 40$。
13. (10分)(2024·江阴期中)如图,$CD$为$△ ABC$的角平分线,点$E,F,G$分别在$△ ABC$的边$BC,AB,AC$上,连接$EF,DG$,$EF// CD$,$∠1 = ∠2$,
(1)求证:$DG// BC$;
(2)若$∠B = 80^{\circ}$,$∠EFD = 100^{\circ}$,求$∠AGD$的度数.
(1)求证:$DG// BC$;
(2)若$∠B = 80^{\circ}$,$∠EFD = 100^{\circ}$,求$∠AGD$的度数.
答案：13. (1)证明：$\because EF// CD$，$\therefore∠1=∠ BCD$。
又$\because∠1=∠2$，$\therefore∠ BCD=∠2$，$\therefore BC// DG$。
(2)解：$\because∠ EFD$是$△ BEF$的一个外角，
$\therefore∠ EFD=∠ B+∠1$。
$\because∠ EFD = 100^{\circ}$，$∠ B = 80^{\circ}$，
$\therefore∠1=∠ EFD-∠ B = 20^{\circ}$。
$\because EF// CD$，$\therefore∠ BCD=∠1 = 20^{\circ}$。
$\because CD$为$△ ABC$的角平分线，
$\therefore∠ BCA = 2∠ BCD = 40^{\circ}$。
$\because DG// BC$，$\therefore∠ AGD=∠ BCA = 40^{\circ}$。
又$\because∠1=∠2$，$\therefore∠ BCD=∠2$，$\therefore BC// DG$。
(2)解：$\because∠ EFD$是$△ BEF$的一个外角，
$\therefore∠ EFD=∠ B+∠1$。
$\because∠ EFD = 100^{\circ}$，$∠ B = 80^{\circ}$，
$\therefore∠1=∠ EFD-∠ B = 20^{\circ}$。
$\because EF// CD$，$\therefore∠ BCD=∠1 = 20^{\circ}$。
$\because CD$为$△ ABC$的角平分线，
$\therefore∠ BCA = 2∠ BCD = 40^{\circ}$。
$\because DG// BC$，$\therefore∠ AGD=∠ BCA = 40^{\circ}$。
14. (12分)(2024·溧水区期末)某学校为了庆祝国庆节,准备购买一批盆花布置校园.已知1盆$A$种花和2盆$B$种花共需13元;2盆$A$种花和1盆$B$种花共需11元.
(1)求1盆$A$种花和1盆$B$种花的售价各是多少元?
(2)学校准备购进这两种盆花共100盆,并且$A$种盆花的数量不超过$B$种盆花数量的2倍,请求出$A$种盆花最多购进多少盆?
(1)求1盆$A$种花和1盆$B$种花的售价各是多少元?
(2)学校准备购进这两种盆花共100盆,并且$A$种盆花的数量不超过$B$种盆花数量的2倍,请求出$A$种盆花最多购进多少盆?
答案：14. 解：(1)设$1$盆$A$种花的售价为$x$元，$1$盆$B$种花的售价是$y$元，根据题意，得
$\begin{cases}x + 2y = 13,\\2x + y = 11,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 3,\\y = 5.\end{cases}$
答：$1$盆$A$种花的售价为$3$元，$1$盆$B$种花的售价是$5$元。
(2)设购进$A$种花$m$盆，则购进$B$种花$(100 - m)$盆，根据题意，得$m≤2(100 - m)$，
解得$m≤66\frac{2}{3}$，又$m$为正整数，$\therefore m$的最大值为$66$。
答：$A$种盆花最多购进$66$盆。
$\begin{cases}x + 2y = 13,\\2x + y = 11,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 3,\\y = 5.\end{cases}$
答：$1$盆$A$种花的售价为$3$元，$1$盆$B$种花的售价是$5$元。
(2)设购进$A$种花$m$盆，则购进$B$种花$(100 - m)$盆，根据题意，得$m≤2(100 - m)$，
解得$m≤66\frac{2}{3}$，又$m$为正整数，$\therefore m$的最大值为$66$。
答：$A$种盆花最多购进$66$盆。
15. (12分)如图①,在$△ ABC$中,$AD$是高,$AE$是$∠BAC$的平分线,$∠ABC = 40^{\circ}$,$∠ACB = 70^{\circ}$.
(1)求$∠EAD$的度数;
(2)若$AE$是$△ ABC$的外角$∠FAC$的平分线,如图②,设$∠ABC = α$,$∠ACB = β$,用$α,β$表示$∠EAD$的度数,并说明理由.
(1)求$∠EAD$的度数;
(2)若$AE$是$△ ABC$的外角$∠FAC$的平分线,如图②,设$∠ABC = α$,$∠ACB = β$,用$α,β$表示$∠EAD$的度数,并说明理由.
答案：15. 解：(1)$\because∠ ABC = 40^{\circ}$，$∠ ACB = 70^{\circ}$，
$\therefore∠ BAC = 180^{\circ}-∠ ABC-∠ ACB = 180^{\circ}-40^{\circ}-70^{\circ}=70^{\circ}$。
$\because AE$是$∠ BAC$的平分线，$\therefore∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC = 35^{\circ}$。
$\because AD⊥ BC$，$\therefore∠ ADB = 90^{\circ}$，
$\therefore∠ BAD = 90^{\circ}-∠ ABC = 90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$，
$\therefore∠ EAD=∠ BAD-∠ BAE = 50^{\circ}-35^{\circ}=15^{\circ}$。
(2)$∠ EAD = 90^{\circ}+\frac{α-β}{2}$。理由如下：
$\because∠ ABC=α$，$∠ ACB=β$，$\therefore∠ FAC=α+β$。
$\because AE$平分$∠ FAC$，$\therefore∠ CAE=\frac{1}{2}∠ FAC=\frac{α+β}{2}$。
$\because AD⊥ BC$，$∠ ACB=β$，$\therefore∠ DAC = 90^{\circ}-β$，
$\therefore∠ EAD=∠ DAC+∠ CAE = 90^{\circ}-β+\frac{α+β}{2}=90^{\circ}+\frac{α-β}{2}$。
$\therefore∠ BAC = 180^{\circ}-∠ ABC-∠ ACB = 180^{\circ}-40^{\circ}-70^{\circ}=70^{\circ}$。
$\because AE$是$∠ BAC$的平分线，$\therefore∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC = 35^{\circ}$。
$\because AD⊥ BC$，$\therefore∠ ADB = 90^{\circ}$，
$\therefore∠ BAD = 90^{\circ}-∠ ABC = 90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$，
$\therefore∠ EAD=∠ BAD-∠ BAE = 50^{\circ}-35^{\circ}=15^{\circ}$。
(2)$∠ EAD = 90^{\circ}+\frac{α-β}{2}$。理由如下：
$\because∠ ABC=α$，$∠ ACB=β$，$\therefore∠ FAC=α+β$。
$\because AE$平分$∠ FAC$，$\therefore∠ CAE=\frac{1}{2}∠ FAC=\frac{α+β}{2}$。
$\because AD⊥ BC$，$∠ ACB=β$，$\therefore∠ DAC = 90^{\circ}-β$，
$\therefore∠ EAD=∠ DAC+∠ CAE = 90^{\circ}-β+\frac{α+β}{2}=90^{\circ}+\frac{α-β}{2}$。