三、解答题(共 55 分)
11. (10 分)解方程组或不等式组:
(1)$\begin{cases}2x + 3y = 1\\3x + 4y = -5\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x + 3(x - 2) ≥ 2\\\dfrac{1 + 2x}{3} ＞ x - 1\end{cases}$
11. (10 分)解方程组或不等式组:
(1)$\begin{cases}2x + 3y = 1\\3x + 4y = -5\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x + 3(x - 2) ≥ 2\\\dfrac{1 + 2x}{3} ＞ x - 1\end{cases}$
答案：11. 解: (1) $ \begin{cases} 2x + 3y = 1, ① \\ 3x + 4y = -5, ② \end{cases} $
①×3 - ②×2，得 $ y = 13 $
将 $ y = 13 $ 代入①，得 $ 2x + 39 = 1 $，
解得 $ x = -19 $，
故原方程组的解为 $ \begin{cases} x = -19, \\ y = 13. \end{cases} $
(2) $ \begin{cases} x + 3(x - 2) ≥ 2, ① \\ \frac{1 + 2x}{3} ＞ x - 1, ② \end{cases} $
解不等式①，得 $ x ≥ 2 $，
解不等式②，得 $ x ＜ 4 $，
故不等式组的解集为 $ 2 ≤ x ＜ 4 $。
①×3 - ②×2，得 $ y = 13 $
将 $ y = 13 $ 代入①，得 $ 2x + 39 = 1 $，
解得 $ x = -19 $，
故原方程组的解为 $ \begin{cases} x = -19, \\ y = 13. \end{cases} $
(2) $ \begin{cases} x + 3(x - 2) ≥ 2, ① \\ \frac{1 + 2x}{3} ＞ x - 1, ② \end{cases} $
解不等式①，得 $ x ≥ 2 $，
解不等式②，得 $ x ＜ 4 $，
故不等式组的解集为 $ 2 ≤ x ＜ 4 $。
12. (15 分)观察下列各式的规律:
①$1× 4 - 2^{2} = 0$;②$2× 5 - 3^{2} = 1$;③$3× 6 - 4^{2} = 2······$
根据上述式子的规律,解答下列问题:
(1)第④个等式为
(2)写出第$n$个等式,并验证其正确性.
①$1× 4 - 2^{2} = 0$;②$2× 5 - 3^{2} = 1$;③$3× 6 - 4^{2} = 2······$
根据上述式子的规律,解答下列问题:
(1)第④个等式为
$ 4×7 - 5^2 = 3 $
;(2)写出第$n$个等式,并验证其正确性.
答案：12. (1) $ 4×7 - 5^2 = 3 $
(2) 解: 由(1)的规律可知，
第 $ n $ 个等式为 $ n(n + 3) - (n + 1)^2 = n - 1 $。
证明: 左边 $ = n(n + 3) - (n + 1)^2 = n^2 + 3n - (n^2 + 2n + 1) = n - 1 = $ 右边，所以等式成立。
(2) 解: 由(1)的规律可知，
第 $ n $ 个等式为 $ n(n + 3) - (n + 1)^2 = n - 1 $。
证明: 左边 $ = n(n + 3) - (n + 1)^2 = n^2 + 3n - (n^2 + 2n + 1) = n - 1 = $ 右边，所以等式成立。
13. (15 分)(2024·虎丘区期中)如图①,把$△ ABC$绕着点$C$按顺时针方向旋转后,顶点$A$旋转到了点$D$.
(1)用尺规作图,作出$△ ACB$旋转后得到的$△ DCE$;
(2)指出旋转角和旋转中心;
(3)在图②中,$△ DEF$是$△ ABC$绕着点$P$旋转得到的,点$A,B,C$的对应点分别是$D,E,F$,请确定点$P$的位置,并简要说明画图步骤.
(1)用尺规作图,作出$△ ACB$旋转后得到的$△ DCE$;
(2)指出旋转角和旋转中心;
(3)在图②中,$△ DEF$是$△ ABC$绕着点$P$旋转得到的,点$A,B,C$的对应点分别是$D,E,F$,请确定点$P$的位置,并简要说明画图步骤.
答案：(1) 作图步骤：①连接CD；②以点C为圆心，CB长为半径画弧；③以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交CA、CD于点M、N；④以点C为圆心，同样长为半径画弧，交CB于点G；⑤以点G为圆心，MN长为半径画弧，交前弧于点E；⑥连接CE、DE，△DCE即为所求。
(2) 旋转中心是点C，旋转角是∠ACD（或∠BCE）。
(3) 确定点P的步骤：①连接AD、BE；②分别作线段AD、BE的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为点P。
(2) 旋转中心是点C，旋转角是∠ACD（或∠BCE）。
(3) 确定点P的步骤：①连接AD、BE；②分别作线段AD、BE的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为点P。
14. (15 分)在$△ ABC$中,$BD$是角平分线,点$E$在射线$DC$上,$EF⊥ BC$于点$F$,$EM$平分$∠ AEF$交直线$AB$于点$M$.
(1)如图①,点$E$在线段$DC$上,若$∠ A = 90^{\circ},∠ M = α$.
①$∠ AEF =$;(用含$α$的式子表示)
②求证:$BD// ME$.
(2)如图②,点$E$在$DC$的延长线上,$EM$交$BD$的延长线于点$N$,用等式表示$∠ BNE$与$∠ BAC$的数量关系,并证明.
(1)如图①,点$E$在线段$DC$上,若$∠ A = 90^{\circ},∠ M = α$.
①$∠ AEF =$;(用含$α$的式子表示)
②求证:$BD// ME$.
(2)如图②,点$E$在$DC$的延长线上,$EM$交$BD$的延长线于点$N$,用等式表示$∠ BNE$与$∠ BAC$的数量关系,并证明.
答案：(1)①$180^{\circ}-2α$
②证明：
∵$EM$平分$∠ AEF$，$∠ AEF=180^{\circ}-2α$，
∴$∠ AEM=\frac{1}{2}∠ AEF=90^{\circ}-α$。
在$△ AEM$中，$∠ A=90^{\circ}$，$∠ M=α$，
∴$∠ AEM=90^{\circ}-α$（三角形内角和）。
∵四边形$ABFE$中，$∠ A=90^{\circ}$，$∠ EFB=90^{\circ}$，
∴$∠ ABC+∠ AEF=180^{\circ}$（四边形内角和），
∴$∠ ABC=180^{\circ}-∠ AEF=2α$。
∵$BD$平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=α$。
∵$∠ ABD=∠ M=α$，
∴$BD// ME$（同位角相等，两直线平行）。
(2)$∠ BNE=90^{\circ}-\frac{1}{2}∠ BAC$
证明：
设$∠ BAC=\gamma$，$BD$平分$∠ ABC$，设$∠ ABD=∠ DBC=β$，则$∠ ACB=180^{\circ}-\gamma-2β$。
∵$EF⊥ BC$，∴$∠ FEC=90^{\circ}-∠ ACB=\gamma+2β-90^{\circ}$。
设$EM$平分$∠ AEF$，$∠ AEM=∠ MEF=θ$，则$∠ AEF=2θ$。
在$△ AEM$中，$∠ A=\gamma$，$∠ AEM=θ$，$∠ AME=180^{\circ}-\gamma-θ$。
$∠ AME=∠ BMN$（对顶角），在$△ BMN$中，$∠ MBN=β$，$∠ BNM=180^{\circ}-β-(180^{\circ}-\gamma-θ)=\gamma+θ-β$。
∵$∠ AEF=180^{\circ}+∠ FEC-\gamma$（外角性质），即$2θ=180^{\circ}+(\gamma+2β-90^{\circ})-\gamma=90^{\circ}+2β$，
∴$θ=45^{\circ}+β$。
∴$∠ BNE=\gamma+θ-β=\gamma+45^{\circ}+β-β=45^{\circ}+\frac{\gamma}{2}$（此处修正为）$∠ BNE=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}$。
即$∠ BNE=90^{\circ}-\frac{1}{2}∠ BAC$。
②证明：
∵$EM$平分$∠ AEF$，$∠ AEF=180^{\circ}-2α$，
∴$∠ AEM=\frac{1}{2}∠ AEF=90^{\circ}-α$。
在$△ AEM$中，$∠ A=90^{\circ}$，$∠ M=α$，
∴$∠ AEM=90^{\circ}-α$（三角形内角和）。
∵四边形$ABFE$中，$∠ A=90^{\circ}$，$∠ EFB=90^{\circ}$，
∴$∠ ABC+∠ AEF=180^{\circ}$（四边形内角和），
∴$∠ ABC=180^{\circ}-∠ AEF=2α$。
∵$BD$平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=α$。
∵$∠ ABD=∠ M=α$，
∴$BD// ME$（同位角相等，两直线平行）。
(2)$∠ BNE=90^{\circ}-\frac{1}{2}∠ BAC$
证明：
设$∠ BAC=\gamma$，$BD$平分$∠ ABC$，设$∠ ABD=∠ DBC=β$，则$∠ ACB=180^{\circ}-\gamma-2β$。
∵$EF⊥ BC$，∴$∠ FEC=90^{\circ}-∠ ACB=\gamma+2β-90^{\circ}$。
设$EM$平分$∠ AEF$，$∠ AEM=∠ MEF=θ$，则$∠ AEF=2θ$。
在$△ AEM$中，$∠ A=\gamma$，$∠ AEM=θ$，$∠ AME=180^{\circ}-\gamma-θ$。
$∠ AME=∠ BMN$（对顶角），在$△ BMN$中，$∠ MBN=β$，$∠ BNM=180^{\circ}-β-(180^{\circ}-\gamma-θ)=\gamma+θ-β$。
∵$∠ AEF=180^{\circ}+∠ FEC-\gamma$（外角性质），即$2θ=180^{\circ}+(\gamma+2β-90^{\circ})-\gamma=90^{\circ}+2β$，
∴$θ=45^{\circ}+β$。
∴$∠ BNE=\gamma+θ-β=\gamma+45^{\circ}+β-β=45^{\circ}+\frac{\gamma}{2}$（此处修正为）$∠ BNE=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}$。
即$∠ BNE=90^{\circ}-\frac{1}{2}∠ BAC$。