一、选择题(每小题4分，共20分)
1. 下列说法正确的是(
A.代数式$\frac{x + 4}{2π}$是分式
B.分式$\frac{xy}{3x - 2y}$中$x$，$y$的值都扩大3倍，分式的值不变
C.分式$\frac{x^2 - 9}{x - 3}$的值为0，则$x$的值为$\pm 3$
D.分式$\frac{x + 1}{x^2 + 1}$是最简分式
1. 下列说法正确的是(
D
)A.代数式$\frac{x + 4}{2π}$是分式
B.分式$\frac{xy}{3x - 2y}$中$x$，$y$的值都扩大3倍，分式的值不变
C.分式$\frac{x^2 - 9}{x - 3}$的值为0，则$x$的值为$\pm 3$
D.分式$\frac{x + 1}{x^2 + 1}$是最简分式
答案：1. D
2. 下列分式中，与$-\frac{x - y}{-2x - y}$的值相等的是(
A.$\frac{x + y}{y - 2x}$
B.$\frac{x + y}{2x + y}$
C.$\frac{x - y}{2x - y}$
D.$\frac{x - y}{2x + y}$
D
)A.$\frac{x + y}{y - 2x}$
B.$\frac{x + y}{2x + y}$
C.$\frac{x - y}{2x - y}$
D.$\frac{x - y}{2x + y}$
答案：2. D
解析：
$-\frac{x - y}{-2x - y}=\frac{x - y}{2x + y}$，答案选D。
3. 化简$\frac{4}{x + 2} + x - 2$的结果是(
A.1
B.$\frac{x^2}{x^2 - 4}$
C.$\frac{x}{x + 2}$
D.$\frac{x^2}{x + 2}$
D
)A.1
B.$\frac{x^2}{x^2 - 4}$
C.$\frac{x}{x + 2}$
D.$\frac{x^2}{x + 2}$
答案：3. D
解析：
$\begin{aligned}\frac{4}{x + 2} + x - 2&=\frac{4}{x + 2} + \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2}\\&=\frac{4 + (x^2 - 4)}{x + 2}\\&=\frac{x^2}{x + 2}\end{aligned}$
D
D
4. 已知$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{4}$，则$\frac{ab}{a - b}$的值为(
A.$\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.4
D.$-4$
D
)A.$\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.4
D.$-4$
答案：4. D
解析：
已知$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{4}$，通分得$\frac{b - a}{ab} = \frac{1}{4}$，即$\frac{-(a - b)}{ab} = \frac{1}{4}$，两边取倒数得$\frac{ab}{-(a - b)} = 4$，所以$\frac{ab}{a - b} = -4$。
D
D
5. 若$x$是非负整数，则表示$\frac{2x}{x + 2} - \frac{x^2 - 4}{(x + 2)^2}$的值的对应点落在如图所示的数轴上的范围是(
A.①
B.②
C.③
D.①或②
B
)A.①
B.②
C.③
D.①或②
答案：5. B
解析：
$\begin{aligned}&\frac{2x}{x + 2} - \frac{x^2 - 4}{(x + 2)^2}\\=&\frac{2x(x + 2) - (x^2 - 4)}{(x + 2)^2}\\=&\frac{2x^2 + 4x - x^2 + 4}{(x + 2)^2}\\=&\frac{x^2 + 4x + 4}{(x + 2)^2}\\=&\frac{(x + 2)^2}{(x + 2)^2}\\=&1\end{aligned}$
$1$落在范围②，答案选B。
$1$落在范围②，答案选B。
二、填空题(每小题4分，共20分)
6. 有一个分式，两位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时的取值范围是$m ≠ \pm 1$。请你写出满足上述全部特点的一个分式：
6. 有一个分式，两位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时的取值范围是$m ≠ \pm 1$。请你写出满足上述全部特点的一个分式：
$\frac{1}{m^{2}-1}$（答案不唯一）
。答案：6. $\frac{1}{m^{2}-1}$（答案不唯一）
7. (1)约分：$\frac{6a^2bc}{3ab} =$
(2)(2024·仪征期末)定义一种新的运算“$*$”：对于任意实数$x$，$y$，$x * y = \frac{1}{x} - \frac{1}{y}$，根据此规则化简$(m - 1) * (m + 1)$的结果为
$2ac$
；(2)(2024·仪征期末)定义一种新的运算“$*$”：对于任意实数$x$，$y$，$x * y = \frac{1}{x} - \frac{1}{y}$，根据此规则化简$(m - 1) * (m + 1)$的结果为
$\frac{2}{m^{2}-1}$
。答案：7. (1) $2ac$ (2) $\frac{2}{m^{2}-1}$
8. 若$\frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{z} = 4$，$\frac{3}{x} + \frac{2}{y} + \frac{1}{z} = 8$，则$\frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z} =$
6
。答案：8. 6
解析：
设$\frac{1}{x} = a$，$\frac{1}{y} = b$，$\frac{1}{z} = c$，则原方程可化为：
$\begin{cases}a + 2b + 3c = 4 \\3a + 2b + c = 8\end{cases}$
将两式相加得：$4a + 4b + 4c = 12$，两边同时除以2得：$2a + 2b + 2c = 6$，即$\frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z} = 6$。
6
$\begin{cases}a + 2b + 3c = 4 \\3a + 2b + c = 8\end{cases}$
将两式相加得：$4a + 4b + 4c = 12$，两边同时除以2得：$2a + 2b + 2c = 6$，即$\frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z} = 6$。
6
9. (2024·内江)已知实数$a$，$b$满足$ab = 1$，则$\frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1} =$
1
。答案：9. 1
解析：
$\begin{aligned}\frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1}&=\frac{b^2 + 1 + a^2 + 1}{(a^2 + 1)(b^2 + 1)}\\&=\frac{a^2 + b^2 + 2}{a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1}\\\because ab = 1\\\therefore a^2b^2 = (ab)^2 = 1^2 = 1\\\therefore \mathrm{原式}&=\frac{a^2 + b^2 + 2}{1 + a^2 + b^2 + 1}\\&=\frac{a^2 + b^2 + 2}{a^2 + b^2 + 2}\\&=1\end{aligned}$
1
1
10. 一辆货车送货上山，并按原路返回。上山的速度为$x$千米/时，下山的速度为$y$千米/时，货车上下山的平均速度为
$\frac{2xy}{x+y}$
千米/时。答案：10. $\frac{2xy}{x+y}$
解析：
设上山的路程为$s$千米。
上山所用时间为$\frac{s}{x}$小时，下山所用时间为$\frac{s}{y}$小时。
总路程为$2s$千米，总时间为$\frac{s}{x}+\frac{s}{y}$小时。
平均速度 = 总路程÷总时间，即：
$\begin{aligned}\mathrm{平均速度}&=\frac{2s}{\frac{s}{x}+\frac{s}{y}}\\&=\frac{2s}{\frac{sy+sx}{xy}}\\&=\frac{2sxy}{s(x+y)}\\&=\frac{2xy}{x+y}\end{aligned}$
$\frac{2xy}{x+y}$
上山所用时间为$\frac{s}{x}$小时，下山所用时间为$\frac{s}{y}$小时。
总路程为$2s$千米，总时间为$\frac{s}{x}+\frac{s}{y}$小时。
平均速度 = 总路程÷总时间，即：
$\begin{aligned}\mathrm{平均速度}&=\frac{2s}{\frac{s}{x}+\frac{s}{y}}\\&=\frac{2s}{\frac{sy+sx}{xy}}\\&=\frac{2sxy}{s(x+y)}\\&=\frac{2xy}{x+y}\end{aligned}$
$\frac{2xy}{x+y}$