1. 某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往. 已知甲、乙两条路线的长度均为 $ 12 \mathrm{ km} $，甲路线的平均速度为乙路线的 $ \frac{3}{2} $ 倍，甲路线的行驶时间比乙路线少 $ 10 \mathrm{ min} $，求甲路线的行驶时间.
答案：1. 解: 设甲路线的行驶时间为 $ x $ min, 则乙路线的行驶时间为 $ (x + 10) $ min,
根据题意, 得 $ \frac{12}{x} = \frac{3}{2} × \frac{12}{x + 10} $, 解得 $ x = 20 $,
经检验, $ x = 20 $ 是所列方程的解, 且符合题意.
答: 甲路线的行驶时间为 20 min.
根据题意, 得 $ \frac{12}{x} = \frac{3}{2} × \frac{12}{x + 10} $, 解得 $ x = 20 $,
经检验, $ x = 20 $ 是所列方程的解, 且符合题意.
答: 甲路线的行驶时间为 20 min.
2. (2024·鼓楼区期末)甲、乙两地相距 $ 300 \mathrm{ km} $，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，实际行驶的速度比原计划的速度增加 $ 25\% $，结果提前 $ 1 \mathrm{ h} $ 到达. 求汽车实际行驶的时间.
甲同学所列的方程为：$ (1 + 25\%) · \frac{300}{x} = \frac{300}{x - 1} $；
乙同学所列的方程为：$ \frac{300}{\frac{y}{(1 + 25\%)}} = \frac{300}{y} + 1 $.
(1) 甲同学所列方程中的 $ x $ 表示
(2) 选择甲、乙两同学中的一个方法解答这个题目.
甲同学所列的方程为：$ (1 + 25\%) · \frac{300}{x} = \frac{300}{x - 1} $；
乙同学所列的方程为：$ \frac{300}{\frac{y}{(1 + 25\%)}} = \frac{300}{y} + 1 $.
(1) 甲同学所列方程中的 $ x $ 表示
汽车原计划需行驶的时间
；乙同学所列方程中的 $ y $ 表示汽车实际行驶的速度
.(2) 选择甲、乙两同学中的一个方法解答这个题目.
答案：2. (1) 汽车原计划需行驶的时间 汽车实际行驶的速度
(2) 解: 选择甲同学的方法. (选法不唯一)
设汽车原计划需行驶的时间为 $ x $ h, 则汽车实际行驶的时间为 $ (x - 1) $ h,
根据题意, 得 $ (1 + 25\%) · \frac{300}{x} = \frac{300}{x - 1} $, 解得 $ x = 5 $,
经检验, $ x = 5 $ 是所列方程的解, 且符合题意,
$ \therefore x - 1 = 4 $.
答: 汽车实际行驶的时间为 4 h.
(2) 解: 选择甲同学的方法. (选法不唯一)
设汽车原计划需行驶的时间为 $ x $ h, 则汽车实际行驶的时间为 $ (x - 1) $ h,
根据题意, 得 $ (1 + 25\%) · \frac{300}{x} = \frac{300}{x - 1} $, 解得 $ x = 5 $,
经检验, $ x = 5 $ 是所列方程的解, 且符合题意,
$ \therefore x - 1 = 4 $.
答: 汽车实际行驶的时间为 4 h.
3. 某工程队准备修建一条长 $ 2400 $ 米的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加 $ 25\% $，结果提前 $ 2 $ 天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？
答案：3. 解: 设原计划每天修建盲道 $ x $ 米,
根据题意, 得 $ \frac{2400}{x} - 2 = \frac{2400}{(1 + 25\%)x} $, 解得 $ x = 240 $,
经检验, $ x = 240 $ 是所列方程的解, 且符合题意.
答: 原计划每天修建盲道 240 米.
根据题意, 得 $ \frac{2400}{x} - 2 = \frac{2400}{(1 + 25\%)x} $, 解得 $ x = 240 $,
经检验, $ x = 240 $ 是所列方程的解, 且符合题意.
答: 原计划每天修建盲道 240 米.
4. (2024·淮安期末)某公司计划购买 $ A $，$ B $ 两种型号的机器人搬运材料. 已知 $ A $ 型机器人比 $ B $ 型机器人每小时多搬运 $ 30 $ 千克材料，且 $ A $ 型机器人搬运 $ 1000 $ 千克材料所用的时间与 $ B $ 型机器人搬运 $ 800 $ 千克材料所用的时间相同.
(1) 求 $ A $，$ B $ 两种型号的机器人每小时分别搬运多少千克材料；
(2) 该公司计划采购 $ A $，$ B $ 两种型号的机器人共 $ 20 $ 台，要求每小时搬运材料不得少于 $ 2800 $ 千克，则至少购进 $ A $ 型机器人多少台？
(1) 求 $ A $，$ B $ 两种型号的机器人每小时分别搬运多少千克材料；
(2) 该公司计划采购 $ A $，$ B $ 两种型号的机器人共 $ 20 $ 台，要求每小时搬运材料不得少于 $ 2800 $ 千克，则至少购进 $ A $ 型机器人多少台？
答案：4. 解: (1) 设 B 型机器人每小时搬运 $ x $ 千克材料, 则 A 型机器人每小时搬运 $ (x + 30) $ 千克材料,
根据题意, 得 $ \frac{1000}{x + 30} = \frac{800}{x} $, 解得 $ x = 120 $.
经检验, $ x = 120 $ 是所列方程的解, 且符合题意,
则 $ x + 30 = 150 $.
答: A 型机器人每小时搬运 150 千克材料, B 型机器人每小时搬运 120 千克材料.
(2) 设购进 A 型机器人 $ a $ 台, 则购进 B 型机器人 $ (20 - a) $ 台,
根据题意, 得 $ 150a + 120(20 - a) ≥ 2800 $, 解得 $ a ≥ \frac{40}{3} $.
$ \because a $ 是整数, $ \therefore a $ 的最小值为 14.
答: 至少购进 A 型机器人 14 台.
根据题意, 得 $ \frac{1000}{x + 30} = \frac{800}{x} $, 解得 $ x = 120 $.
经检验, $ x = 120 $ 是所列方程的解, 且符合题意,
则 $ x + 30 = 150 $.
答: A 型机器人每小时搬运 150 千克材料, B 型机器人每小时搬运 120 千克材料.
(2) 设购进 A 型机器人 $ a $ 台, 则购进 B 型机器人 $ (20 - a) $ 台,
根据题意, 得 $ 150a + 120(20 - a) ≥ 2800 $, 解得 $ a ≥ \frac{40}{3} $.
$ \because a $ 是整数, $ \therefore a $ 的最小值为 14.
答: 至少购进 A 型机器人 14 台.