8. 等式 $ \sqrt{(b - a)^{2}x} = (b - a)\sqrt{x} $ 成立的条件是(
A.$ a ≥ b, x ≥ 0 $
B.$ a ≥ b, x ≤ 0 $
C.$ a ≤ b, x ≥ 0 $
D.$ a ≤ b, x ≤ 0 $
C
)A.$ a ≥ b, x ≥ 0 $
B.$ a ≥ b, x ≤ 0 $
C.$ a ≤ b, x ≥ 0 $
D.$ a ≤ b, x ≤ 0 $
答案：8. C
解析：
要使等式$\sqrt{(b - a)^{2}x} = (b - a)\sqrt{x}$成立：
1. 根号下的数须非负：$(b - a)^{2}x ≥ 0$，$x ≥ 0$。因为$(b - a)^{2} ≥ 0$，所以$x ≥ 0$。
2. 等式右边$(b - a)\sqrt{x}$为非负，$\sqrt{x} ≥ 0$，则$b - a ≥ 0$，即$a ≤ b$。
综上，成立条件是$a ≤ b$且$x ≥ 0$。
C
1. 根号下的数须非负：$(b - a)^{2}x ≥ 0$，$x ≥ 0$。因为$(b - a)^{2} ≥ 0$，所以$x ≥ 0$。
2. 等式右边$(b - a)\sqrt{x}$为非负，$\sqrt{x} ≥ 0$，则$b - a ≥ 0$，即$a ≤ b$。
综上，成立条件是$a ≤ b$且$x ≥ 0$。
C
9. 化简二次根式 $ -\sqrt{8a^{3}} $ 的结果为(
A.$ 2a\sqrt{2a} $
B.$ -2\sqrt{2a^{3}} $
C.$ 2a\sqrt{-2a} $
D.$ -2a\sqrt{2a} $
D
)A.$ 2a\sqrt{2a} $
B.$ -2\sqrt{2a^{3}} $
C.$ 2a\sqrt{-2a} $
D.$ -2a\sqrt{2a} $
答案：9. D
解析：
要化简二次根式$-\sqrt{8a^{3}}$，需先保证被开方数非负，即$8a^{3}≥0$，可得$a≥0$。
$\begin{aligned}-\sqrt{8a^{3}}&=-\sqrt{4a^{2}·2a}\\&=-\sqrt{4a^{2}}·\sqrt{2a}\\&=-2a\sqrt{2a}\end{aligned}$
结果为$-2a\sqrt{2a}$，答案选D。
$\begin{aligned}-\sqrt{8a^{3}}&=-\sqrt{4a^{2}·2a}\\&=-\sqrt{4a^{2}}·\sqrt{2a}\\&=-2a\sqrt{2a}\end{aligned}$
结果为$-2a\sqrt{2a}$，答案选D。
10. 化简：$ \sqrt{-a^{3}} = $
$-a\sqrt{-a}$
.答案：10. $-a\sqrt{-a}$
11. 阅读理解：对于任意正整数 $ a, b $，$ \because (\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2} ≥ 0 $，$ \therefore a - 2\sqrt{ab} + b ≥ 0 $，$ \therefore a + b ≥ 2\sqrt{ab} $，只有当 $ a = b $ 时，等号成立. 结论：在 $ a + b ≥ 2\sqrt{ab} $($ a, b $ 均为正实数)中，只有当 $ a = b $ 时，$ a + b $ 有最小值 $ 2\sqrt{ab} $. 若 $ m ＞ 1 $，$ \sqrt{m} + \frac{1}{\sqrt{m - 1}} $ 有最小值为
3
.答案：11. 3
12. 计算：
(1) $ \sqrt{5x^{2} - 10x + 5}(x ＜ 1) $；
(2) $ \sqrt{8x^{4} + 4x^{2}} $；
(3) $ 2a^{2}b · \sqrt{a^{2}b} · 3\sqrt{\frac{a}{b}} · \frac{1}{2}\sqrt{a}(a ≥ 0, b ＞ 0) $；
(4) $ \frac{2}{y}\sqrt{xy^{5}} · (-\frac{3}{2}\sqrt{x^{3}y}) · 3\sqrt{\frac{x}{y^{5}}}(x ＞ 0, y ＞ 0) $.
(1) $ \sqrt{5x^{2} - 10x + 5}(x ＜ 1) $；
(2) $ \sqrt{8x^{4} + 4x^{2}} $；
(3) $ 2a^{2}b · \sqrt{a^{2}b} · 3\sqrt{\frac{a}{b}} · \frac{1}{2}\sqrt{a}(a ≥ 0, b ＞ 0) $；
(4) $ \frac{2}{y}\sqrt{xy^{5}} · (-\frac{3}{2}\sqrt{x^{3}y}) · 3\sqrt{\frac{x}{y^{5}}}(x ＞ 0, y ＞ 0) $.
答案：12. 解: (1) 原式$=\sqrt{5(x - 1)^{2}}=\sqrt{5}(1 - x)$.
(2) 原式$=\sqrt{4x^{2}(2x^{2}+1)}=2\sqrt{2x^{2}+1}|x|$.
(3) 原式$=3a^{3}b\sqrt{a^{2}b·\frac{a}{b}· a}=3a^{3}b\sqrt{a^{4}}=3a^{5}b$.
(4) 原式$=-\frac{9}{y}\sqrt{xy^{5}· x^{3}y·\frac{x}{y^{5}}}=-\frac{9}{y}·\sqrt{x^{5}y}=-\frac{9x^{2}}{y}\sqrt{xy}$.
(2) 原式$=\sqrt{4x^{2}(2x^{2}+1)}=2\sqrt{2x^{2}+1}|x|$.
(3) 原式$=3a^{3}b\sqrt{a^{2}b·\frac{a}{b}· a}=3a^{3}b\sqrt{a^{4}}=3a^{5}b$.
(4) 原式$=-\frac{9}{y}\sqrt{xy^{5}· x^{3}y·\frac{x}{y^{5}}}=-\frac{9}{y}·\sqrt{x^{5}y}=-\frac{9x^{2}}{y}\sqrt{xy}$.
13. 把根号外面的因式移到根号里面：
(1) $ a\sqrt{a} $；
(2) $ a\sqrt{-\frac{1}{a}} $；
(3) $ a\sqrt{-a} $；
(4) $ -3\sqrt{3} $；
(5) $ -x\sqrt{-x} $；
(6) $ (2 - a)\sqrt{\frac{1}{a - 2}} $.
(1) $ a\sqrt{a} $；
(2) $ a\sqrt{-\frac{1}{a}} $；
(3) $ a\sqrt{-a} $；
(4) $ -3\sqrt{3} $；
(5) $ -x\sqrt{-x} $；
(6) $ (2 - a)\sqrt{\frac{1}{a - 2}} $.
答案：13. 解: (1) 原式$=\sqrt{a^{2}· a}=\sqrt{a^{3}}$.
(2) 原式$=-\sqrt{a^{2}·(-\frac{1}{a})}=-\sqrt{-a}$.
(3) 原式$=-\sqrt{a^{2}·(-a)}=-\sqrt{-a^{3}}$.
(4) 原式$=-\sqrt{3^{2}×3}=-\sqrt{27}$.
(5) 原式$=\sqrt{(-x)^{2}·(-x)}=\sqrt{-x^{3}}$.
(6) 原式$=-(a - 2)\sqrt{\frac{1}{a - 2}}=-\sqrt{(a - 2)^{2}·\frac{1}{a - 2}}=-\sqrt{a - 2}$.
(2) 原式$=-\sqrt{a^{2}·(-\frac{1}{a})}=-\sqrt{-a}$.
(3) 原式$=-\sqrt{a^{2}·(-a)}=-\sqrt{-a^{3}}$.
(4) 原式$=-\sqrt{3^{2}×3}=-\sqrt{27}$.
(5) 原式$=\sqrt{(-x)^{2}·(-x)}=\sqrt{-x^{3}}$.
(6) 原式$=-(a - 2)\sqrt{\frac{1}{a - 2}}=-\sqrt{(a - 2)^{2}·\frac{1}{a - 2}}=-\sqrt{a - 2}$.
14. 观察下列各式：① $ \sqrt{2 + \frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}} $；② $ \sqrt{3 + \frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}} $；③ $ \sqrt{4 + \frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}} $……
(1) 当 $ n ≥ 2 $ 且 $ n $ 为正整数时，你发现了什么规律？用含 $ n $ 的式子表示为
(2) 请用所学的数学知识证明你的结论.
(1) 当 $ n ≥ 2 $ 且 $ n $ 为正整数时，你发现了什么规律？用含 $ n $ 的式子表示为
$\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}$
；(2) 请用所学的数学知识证明你的结论.
答案：14. (1) $\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}$
(2) 证明: $\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n(n^{2}-1)}{n^{2}-1}+\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n(n^{2}-1 + 1)}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n^{2}· n}{n^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}$.
(2) 证明: $\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n(n^{2}-1)}{n^{2}-1}+\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n(n^{2}-1 + 1)}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n^{2}· n}{n^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}$.