1. 化简$\sqrt{3}-\sqrt{3}(1-\sqrt{3})$的结果是(
A.3
B.-3
C.$\sqrt{3}$
D.$-\sqrt{3}$
A
)A.3
B.-3
C.$\sqrt{3}$
D.$-\sqrt{3}$
答案：1. A
解析：
$\begin{aligned}\sqrt{3}-\sqrt{3}(1-\sqrt{3})&=\sqrt{3}-(\sqrt{3}-\sqrt{3}×\sqrt{3})\\&=\sqrt{3}-(\sqrt{3}-3)\\&=\sqrt{3}-\sqrt{3}+3\\&=3\end{aligned}$
A
A
2. 下列各式计算正确的是(
A.$3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=1$
B.$\sqrt{(-3)^2}=-3$
C.$\sqrt{3}+\sqrt{5}=\sqrt{8}$
D.$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=2$
D
)A.$3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=1$
B.$\sqrt{(-3)^2}=-3$
C.$\sqrt{3}+\sqrt{5}=\sqrt{8}$
D.$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=2$
答案：2. D
解析：
A.$3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\sqrt{5}≠1$
B.$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3≠-3$
C.$\sqrt{3}+\sqrt{5}$不能合并，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}≠\sqrt{3}+\sqrt{5}$
D.$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2=5-3=2$
D
B.$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3≠-3$
C.$\sqrt{3}+\sqrt{5}$不能合并，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}≠\sqrt{3}+\sqrt{5}$
D.$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2=5-3=2$
D
3. 计算$\sqrt{12}×\sqrt{6}-\sqrt{18}$的结果是
$ 3\sqrt{2} $
.答案：3. $ 3\sqrt{2} $
解析：
$\sqrt{12} × \sqrt{6} - \sqrt{18} = \sqrt{72} - \sqrt{18} = 6\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
4. 计算$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{20}}$的结果是
$ \frac{1}{3} $
.答案：4. $ \frac{1}{3} $
解析：
$\begin{aligned}\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{20}}&=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}+2\sqrt{5}}\\&=\frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}\\&=\frac{1}{3}\end{aligned}$
5. (2024·天津)计算$(\sqrt{11}+1)(\sqrt{11}-1)$的结果为
10
.答案：5. 10
解析：
$(\sqrt{11}+1)(\sqrt{11}-1)=(\sqrt{11})^2 - 1^2 = 11 - 1 = 10$
6. 已知$a = 4 + 2\sqrt{5}$，$b = 4 - 2\sqrt{5}$，则$a^2b - ab^2$的值为
$ -16\sqrt{5} $
.答案：6. $ -16\sqrt{5} $
解析：
$a^2b - ab^2 = ab(a - b)$
$ab = (4 + 2\sqrt{5})(4 - 2\sqrt{5}) = 16 - (2\sqrt{5})^2 = 16 - 20 = -4$
$a - b = (4 + 2\sqrt{5}) - (4 - 2\sqrt{5}) = 4\sqrt{5}$
$ab(a - b) = -4 × 4\sqrt{5} = -16\sqrt{5}$
$-16\sqrt{5}$
$ab = (4 + 2\sqrt{5})(4 - 2\sqrt{5}) = 16 - (2\sqrt{5})^2 = 16 - 20 = -4$
$a - b = (4 + 2\sqrt{5}) - (4 - 2\sqrt{5}) = 4\sqrt{5}$
$ab(a - b) = -4 × 4\sqrt{5} = -16\sqrt{5}$
$-16\sqrt{5}$
7. 计算：
(1) $(\sqrt{12}-3\sqrt{\frac{1}{3}})×\sqrt{6}$；
(2) $(\sqrt{48}+\frac{\sqrt{6}}{4})÷\sqrt{27}$；
(3) $4\sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{6}×\sqrt{3}+\sqrt{12}÷\sqrt{3}$；
(4) $\sqrt{27}÷\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{2}-6\sqrt{2}$；
(5) $3\sqrt{2}×(2\sqrt{12}-4\sqrt{\frac{1}{8}}+3\sqrt{48})$；
(6) $\sqrt{54}÷\sqrt{3}-\sqrt{12}×\sqrt{\frac{1}{6}}+\sqrt{(\sqrt{2}-3)^2}$.
(1) $(\sqrt{12}-3\sqrt{\frac{1}{3}})×\sqrt{6}$；
(2) $(\sqrt{48}+\frac{\sqrt{6}}{4})÷\sqrt{27}$；
(3) $4\sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{6}×\sqrt{3}+\sqrt{12}÷\sqrt{3}$；
(4) $\sqrt{27}÷\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{2}-6\sqrt{2}$；
(5) $3\sqrt{2}×(2\sqrt{12}-4\sqrt{\frac{1}{8}}+3\sqrt{48})$；
(6) $\sqrt{54}÷\sqrt{3}-\sqrt{12}×\sqrt{\frac{1}{6}}+\sqrt{(\sqrt{2}-3)^2}$.
答案：7. 解：(1) 原式 $ = (2\sqrt{3} - \sqrt{3}) × \sqrt{6} = \sqrt{3} × \sqrt{6} = 3\sqrt{2} $
(2) 原式 $ = (4\sqrt{3} + \frac{\sqrt{6}}{4}) ÷ 3\sqrt{3} = \frac{4}{3} + \frac{\sqrt{2}}{12} $
(3) 原式 $ = 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + \sqrt{4} = 2 - \sqrt{2} $
(4) 原式 $ = 3\sqrt{3} × \frac{2}{\sqrt{3}} × 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 6\sqrt{2} $
(5) 原式 $ = 3\sqrt{2} × (16\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 48\sqrt{6} - 6 $
(6) 原式 $ = \sqrt{54 ÷ 3} - \sqrt{12 × \frac{1}{6}} + 3 - \sqrt{2} = 3\sqrt{2} - \sqrt{2} + 3 - \sqrt{2} = \sqrt{2} + 3 $
(2) 原式 $ = (4\sqrt{3} + \frac{\sqrt{6}}{4}) ÷ 3\sqrt{3} = \frac{4}{3} + \frac{\sqrt{2}}{12} $
(3) 原式 $ = 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + \sqrt{4} = 2 - \sqrt{2} $
(4) 原式 $ = 3\sqrt{3} × \frac{2}{\sqrt{3}} × 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 6\sqrt{2} $
(5) 原式 $ = 3\sqrt{2} × (16\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 48\sqrt{6} - 6 $
(6) 原式 $ = \sqrt{54 ÷ 3} - \sqrt{12 × \frac{1}{6}} + 3 - \sqrt{2} = 3\sqrt{2} - \sqrt{2} + 3 - \sqrt{2} = \sqrt{2} + 3 $
8. 估计$(2\sqrt{3}+6\sqrt{2})×\sqrt{\frac{1}{3}}$的值应在(
A.4 和 5 之间
B.5 和 6 之间
C.6 和 7 之间
D.7 和 8 之间
C
)A.4 和 5 之间
B.5 和 6 之间
C.6 和 7 之间
D.7 和 8 之间
答案：8. C
解析：
$\begin{aligned}&(2\sqrt{3} + 6\sqrt{2}) × \sqrt{\frac{1}{3}}\\=&2\sqrt{3} × \sqrt{\frac{1}{3}} + 6\sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{3}}\\=&2\sqrt{3 × \frac{1}{3}} + 6\sqrt{2 × \frac{1}{3}}\\=&2\sqrt{1} + 6\sqrt{\frac{2}{3}}\\=&2 + 6 × \frac{\sqrt{6}}{3}\\=&2 + 2\sqrt{6}\end{aligned}$
因为$\sqrt{6} \approx 2.449$，所以$2\sqrt{6} \approx 4.898$，则$2 + 2\sqrt{6} \approx 6.898$，其值在6和7之间。
C
因为$\sqrt{6} \approx 2.449$，所以$2\sqrt{6} \approx 4.898$，则$2 + 2\sqrt{6} \approx 6.898$，其值在6和7之间。
C
9. 若$3-\sqrt{2}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，则代数式$(2+\sqrt{2}a)· b$的值是
2
.答案：9. 2
解析：
因为$1＜\sqrt{2}＜2$，所以$-2＜-\sqrt{2}＜-1$，则$3 - 2＜3-\sqrt{2}＜3 - 1$，即$1＜3-\sqrt{2}＜2$，所以$3-\sqrt{2}$的整数部分$a = 1$，小数部分$b=3-\sqrt{2}-a=3-\sqrt{2}-1=2-\sqrt{2}$。
将$a = 1$，$b=2-\sqrt{2}$代入代数式$(2+\sqrt{2}a)· b$，可得：
$\begin{aligned}&(2+\sqrt{2}×1)×(2-\sqrt{2})\\=&(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})\\=&2^{2}-(\sqrt{2})^{2}\\=&4 - 2\\=&2\end{aligned}$
2
将$a = 1$，$b=2-\sqrt{2}$代入代数式$(2+\sqrt{2}a)· b$，可得：
$\begin{aligned}&(2+\sqrt{2}×1)×(2-\sqrt{2})\\=&(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})\\=&2^{2}-(\sqrt{2})^{2}\\=&4 - 2\\=&2\end{aligned}$
2