一、选择题
1. 下列分式：$\frac{a}{ab},\frac{4}{2m + 4},\frac{x + π}{x},\frac{b^{2}-4}{b - 2},\frac{a + b}{b - a}$，其中最简分式的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
1. 下列分式：$\frac{a}{ab},\frac{4}{2m + 4},\frac{x + π}{x},\frac{b^{2}-4}{b - 2},\frac{a + b}{b - a}$，其中最简分式的个数是(
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案：1. B
2. 在分式$\frac{-4a}{2a + 5b}$中，如果$a$，$b$的值都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值将(
A.扩大为原来的 2 倍
B.不变
C.缩小到原来的$\frac{1}{2}$
D.缩小到原来的$\frac{1}{4}$
B
)A.扩大为原来的 2 倍
B.不变
C.缩小到原来的$\frac{1}{2}$
D.缩小到原来的$\frac{1}{4}$
答案：2. B
解析：
当$a$，$b$的值都扩大为原来的2倍时，新的$a$为$2a$，新的$b$为$2b$。
原分式为$\frac{-4a}{2a + 5b}$，变化后的分式为：
$\frac{-4×(2a)}{2×(2a) + 5×(2b)} = \frac{-8a}{4a + 10b} = \frac{-8a}{2(2a + 5b)} = \frac{-4a}{2a + 5b}$
所以分式的值不变。
B
原分式为$\frac{-4a}{2a + 5b}$，变化后的分式为：
$\frac{-4×(2a)}{2×(2a) + 5×(2b)} = \frac{-8a}{4a + 10b} = \frac{-8a}{2(2a + 5b)} = \frac{-4a}{2a + 5b}$
所以分式的值不变。
B
3. 下列运算结果正确的是(
A.$\frac{x^{2}+y^{2}}{x + y}=x + y$
B.$\frac{x^{6}}{x^{2}}=x^{3}$
C.$a÷ b×\frac{1}{b}=a$
D.$\frac{1}{a - b}+\frac{1}{b - a}=0$
D
)A.$\frac{x^{2}+y^{2}}{x + y}=x + y$
B.$\frac{x^{6}}{x^{2}}=x^{3}$
C.$a÷ b×\frac{1}{b}=a$
D.$\frac{1}{a - b}+\frac{1}{b - a}=0$
答案：3. D
解析：
A. $\frac{x^{2}+y^{2}}{x + y}≠ x + y$
B. $\frac{x^{6}}{x^{2}}=x^{4}≠ x^{3}$
C. $a÷ b×\frac{1}{b}=\frac{a}{b^{2}}≠ a$
D. $\frac{1}{a - b}+\frac{1}{b - a}=\frac{1}{a - b}-\frac{1}{a - b}=0$
D
B. $\frac{x^{6}}{x^{2}}=x^{4}≠ x^{3}$
C. $a÷ b×\frac{1}{b}=\frac{a}{b^{2}}≠ a$
D. $\frac{1}{a - b}+\frac{1}{b - a}=\frac{1}{a - b}-\frac{1}{a - b}=0$
D
4. 关于$x$的方程$\frac{1}{x - 2}+\frac{a - 2}{2 - x}=1$的解是正数，则$a$的取值范围是(
A.$a＞5$
B.$a＜5$且$a≠ - 3$
C.$a＜5$
D.$a＜5$且$a≠ 3$
D
)A.$a＞5$
B.$a＜5$且$a≠ - 3$
C.$a＜5$
D.$a＜5$且$a≠ 3$
答案：4. D
解析：
解：方程两边同乘$x - 2$得：$1 - (a - 2) = x - 2$，
化简得：$1 - a + 2 = x - 2$，
解得：$x = 5 - a$。
因为方程的解是正数，所以$5 - a ＞ 0$，即$a ＜ 5$。
又因为分母不能为$0$，所以$x - 2 ≠ 0$，即$5 - a - 2 ≠ 0$，解得$a ≠ 3$。
综上，$a$的取值范围是$a ＜ 5$且$a ≠ 3$。
D
化简得：$1 - a + 2 = x - 2$，
解得：$x = 5 - a$。
因为方程的解是正数，所以$5 - a ＞ 0$，即$a ＜ 5$。
又因为分母不能为$0$，所以$x - 2 ≠ 0$，即$5 - a - 2 ≠ 0$，解得$a ≠ 3$。
综上，$a$的取值范围是$a ＜ 5$且$a ≠ 3$。
D
二、填空题
5. 若分式$\frac{x - 1}{3x + 5}$有意义，则$x$的取值范围是
5. 若分式$\frac{x - 1}{3x + 5}$有意义，则$x$的取值范围是
$ x ≠ -\frac{5}{3} $
；若分式$\frac{x^{2}-4}{x - 2}$的值为 0，则$x$的值为-2
.答案：5. $ x ≠ -\frac{5}{3} $ -2
解析：
$x ≠ -\dfrac{5}{3}$；$-2$
6. 若$\frac{1}{m}-\frac{1}{n}=2$，则分式$\frac{3m - 2mn - 3n}{m - n}$的值为
4
.答案：6. 4
解析：
解：由$\frac{1}{m} - \frac{1}{n} = 2$，通分得$\frac{n - m}{mn} = 2$，即$n - m = 2mn$，所以$m - n = -2mn$。
将$m - n = -2mn$代入$\frac{3m - 2mn - 3n}{m - n}$，分子变形为$3(m - n) - 2mn$，则原式$=\frac{3(-2mn) - 2mn}{-2mn} = \frac{-6mn - 2mn}{-2mn} = \frac{-8mn}{-2mn} = 4$。
4
将$m - n = -2mn$代入$\frac{3m - 2mn - 3n}{m - n}$，分子变形为$3(m - n) - 2mn$，则原式$=\frac{3(-2mn) - 2mn}{-2mn} = \frac{-6mn - 2mn}{-2mn} = \frac{-8mn}{-2mn} = 4$。
4
7. 小刚、小强两人沿同一直道匀速从 A 地去 B 地. 小刚骑自行车，小强步行，小刚的速度是小强的 2 倍. 若小强比小刚早 1 min 从 A 地出发，晚 5 min 到达 B 地，则小强整个行程所用的时间为
12 min
.答案：7. 12 min
解析：
设小强的速度为$v$，则小刚的速度为$2v$，设小强整个行程所用的时间为$t$分钟。
根据题意，小刚所用的时间为$(t - 1 - 5)$分钟，即$(t - 6)$分钟。
因为两人所走的路程相等，可得方程：$vt = 2v(t - 6)$
两边同时除以$v$（$v ≠ 0$）：$t = 2(t - 6)$
解得：$t = 12$
12 min
根据题意，小刚所用的时间为$(t - 1 - 5)$分钟，即$(t - 6)$分钟。
因为两人所走的路程相等，可得方程：$vt = 2v(t - 6)$
两边同时除以$v$（$v ≠ 0$）：$t = 2(t - 6)$
解得：$t = 12$
12 min
8. 若关于$x$的方程$\frac{2m + x}{x - 3}-1=\frac{2}{x}$无解，则$m=$
$ -\frac{1}{2} $或$ -\frac{3}{2} $
.答案：8. $ -\frac{1}{2} $或$ -\frac{3}{2} $
解析：
解：方程两边同乘$x(x - 3)$，得$x(2m + x) - x(x - 3) = 2(x - 3)$，
化简得$2mx + x^2 - x^2 + 3x = 2x - 6$，
合并同类项得$(2m + 1)x = -6$。
当$2m + 1 = 0$，即$m = -\frac{1}{2}$时，方程无解。
当$2m + 1 ≠ 0$时，$x = -\frac{6}{2m + 1}$。
若原方程无解，则$x(x - 3) = 0$，即$x = 0$或$x = 3$。
当$x = 0$时，$-\frac{6}{2m + 1} = 0$，无解。
当$x = 3$时，$-\frac{6}{2m + 1} = 3$，解得$m = -\frac{3}{2}$。
综上，$m = -\frac{1}{2}$或$m = -\frac{3}{2}$。
化简得$2mx + x^2 - x^2 + 3x = 2x - 6$，
合并同类项得$(2m + 1)x = -6$。
当$2m + 1 = 0$，即$m = -\frac{1}{2}$时，方程无解。
当$2m + 1 ≠ 0$时，$x = -\frac{6}{2m + 1}$。
若原方程无解，则$x(x - 3) = 0$，即$x = 0$或$x = 3$。
当$x = 0$时，$-\frac{6}{2m + 1} = 0$，无解。
当$x = 3$时，$-\frac{6}{2m + 1} = 3$，解得$m = -\frac{3}{2}$。
综上，$m = -\frac{1}{2}$或$m = -\frac{3}{2}$。
三、解答题
9. 计算：
(1)$\frac{1}{a + 1}-\frac{a}{(a + 1)^{2}}$；
(2)$\frac{3a}{b}·\frac{ab^{2}}{a^{3}b^{2}}÷\frac{6b}{a^{2}}$；
(3)$\frac{x^{2}-2x + 1}{x^{2}-1}÷\frac{x - 1}{x^{2}+x}$；
(4)$\frac{a - 1}{a}÷(a-\frac{1}{a})$.
9. 计算：
(1)$\frac{1}{a + 1}-\frac{a}{(a + 1)^{2}}$；
(2)$\frac{3a}{b}·\frac{ab^{2}}{a^{3}b^{2}}÷\frac{6b}{a^{2}}$；
(3)$\frac{x^{2}-2x + 1}{x^{2}-1}÷\frac{x - 1}{x^{2}+x}$；
(4)$\frac{a - 1}{a}÷(a-\frac{1}{a})$.
答案：9. 解：(1)原式$ = \frac{a + 1}{(a + 1)^2} - \frac{a}{(a + 1)^2} = \frac{1}{(a + 1)^2} $。
(2)原式$ = \frac{3a}{b} · \frac{ab^2}{a^3b^2} · \frac{a^2}{6b} = \frac{a}{2b^2} $。
(3)原式$ = \frac{(x - 1)^2}{(x + 1)(x - 1)} · \frac{x(x + 1)}{x - 1} = x $。
(4)原式$ = \frac{a - 1}{a} ÷ \frac{a^2 - 1}{a} = \frac{a - 1}{a} · \frac{a}{(a + 1)(a - 1)} = \frac{1}{a + 1} $。
(2)原式$ = \frac{3a}{b} · \frac{ab^2}{a^3b^2} · \frac{a^2}{6b} = \frac{a}{2b^2} $。
(3)原式$ = \frac{(x - 1)^2}{(x + 1)(x - 1)} · \frac{x(x + 1)}{x - 1} = x $。
(4)原式$ = \frac{a - 1}{a} ÷ \frac{a^2 - 1}{a} = \frac{a - 1}{a} · \frac{a}{(a + 1)(a - 1)} = \frac{1}{a + 1} $。