1. (2025·涟水县期末)如图,在$□ ABCD$中,已知$AD = 4$,$AB = 2$,则$□ ABCD$的周长是 (
A.6
B.8
C.12
D.16
C
)A.6
B.8
C.12
D.16
答案：1. C
解析：
解：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$AD = BC$。已知$AD = 4$，$AB = 2$，则$CD = 2$，$BC = 4$。平行四边形的周长为$AB + BC + CD + AD = 2 + 4 + 2 + 4 = 12$。
C
C
2. (2024·盐城大丰)如图,在$□ ABCD$中,$AC = 4\ cm$,若$△ ACD$的周长为$13\ cm$,则$□ ABCD$的周长为 (
A.$26\ cm$
B.$24\ cm$
C.$20\ cm$
D.$18\ cm$
D
)A.$26\ cm$
B.$24\ cm$
C.$20\ cm$
D.$18\ cm$
答案：2. D
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB = CD$，$AD = BC$。
∵$△ ACD$的周长为$13\ \mathrm{cm}$，$AC = 4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AD + CD + AC=13\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AD + CD=13 - AC=13 - 4=9\ \mathrm{cm}$。
$\therefore□ ABCD$的周长为$2(AD + CD)=2×9 = 18\ \mathrm{cm}$。
D
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB = CD$，$AD = BC$。
∵$△ ACD$的周长为$13\ \mathrm{cm}$，$AC = 4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AD + CD + AC=13\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AD + CD=13 - AC=13 - 4=9\ \mathrm{cm}$。
$\therefore□ ABCD$的周长为$2(AD + CD)=2×9 = 18\ \mathrm{cm}$。
D
3. 在平行四边形$ABCD$中,若$∠ A+∠ C = 120^{\circ}$,则$∠ B =$
$120^{\circ}$
.答案：3. $120^{\circ}$
解析：
解：在平行四边形$ABCD$中，$∠ A = ∠ C$，$∠ A + ∠ B = 180^{\circ}$。
因为$∠ A + ∠ C = 120^{\circ}$，所以$2∠ A = 120^{\circ}$，$∠ A = 60^{\circ}$。
则$∠ B = 180^{\circ} - ∠ A = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$。
$120^{\circ}$
因为$∠ A + ∠ C = 120^{\circ}$，所以$2∠ A = 120^{\circ}$，$∠ A = 60^{\circ}$。
则$∠ B = 180^{\circ} - ∠ A = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$。
$120^{\circ}$
4. (2024·广州)如图,在$□ ABCD$中,$BC = 2$,点$E$在$DA$的延长线上,$BE = 3$,若$BA$平分$∠ EBC$,则$DE =$
5
.答案：4. 5
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD = BC = 2$，$AB = CD$。
∵$AD// BC$，
∴$∠ EAB=∠ ABC$。
∵$BA$平分$∠ EBC$，
∴$∠ EBA=∠ ABC$。
∴$∠ EAB=∠ EBA$，
∴$EA = EB = 3$。
∵$E$在$DA$的延长线上，
∴$DE=EA + AD=3 + 2=5$。
答案：$5$
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD = BC = 2$，$AB = CD$。
∵$AD// BC$，
∴$∠ EAB=∠ ABC$。
∵$BA$平分$∠ EBC$，
∴$∠ EBA=∠ ABC$。
∴$∠ EAB=∠ EBA$，
∴$EA = EB = 3$。
∵$E$在$DA$的延长线上，
∴$DE=EA + AD=3 + 2=5$。
答案：$5$
5. (2025·肇庆月考)如图,在$□ ABCD$中,$E$,$F$是对角线$BD$上的两点,$BF = DE$.
求证:(1)$AE = CF$;
(2)$AE// CF$.
求证:(1)$AE = CF$;
(2)$AE// CF$.
答案：5. 证明: (1) $ \because $ 在平行四边形 $ ABCD $ 中, $ AD = BC $, $ AD // BC $, $ \therefore ∠ ADE = ∠ CBF $. 在 $ △ ADE $ 与 $ △ CBF $ 中, $ \{ \begin{array} { l } { A D = C B, } \\ { ∠ A D E = ∠ C B F, } \\ { D E = B F, } \end{array} $ $ \therefore △ A D E ≌ △ C B F ( \mathrm { SAS } ) $, $ \therefore A E = C F $;
(2) 由 (1) 知, $ △ A D E ≌ △ C B F $, $ \therefore ∠ A E D = ∠ C F B $, $ \therefore A E // C F $;
(2) 由 (1) 知, $ △ A D E ≌ △ C B F $, $ \therefore ∠ A E D = ∠ C F B $, $ \therefore A E // C F $;
6. (2025·沙河口区期末)如图,平行四边形$OABC$三个顶点的坐标分别是$O(0,0)$,$A(2,2)$,$C(4,0)$,则点$B$的坐标为 (
A.$(6,2)$
B.$(5,2)$
C.$(4,2)$
D.$(2,6)$
A
)A.$(6,2)$
B.$(5,2)$
C.$(4,2)$
D.$(2,6)$
答案：6. A
解析：
解：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}$，
∵O(0,0)，A(2,2)，C(4,0)，
∴$\overrightarrow{OA}=(2,2)$，
设点B的坐标为$(x,y)$，则$\overrightarrow{CB}=(x-4,y-0)=(x-4,y)$，
∴$\begin{cases}x-4=2\\y=2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=6\\y=2\end{cases}$，
∴点B的坐标为(6,2)。
A
∵四边形OABC是平行四边形，
∴$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}$，
∵O(0,0)，A(2,2)，C(4,0)，
∴$\overrightarrow{OA}=(2,2)$，
设点B的坐标为$(x,y)$，则$\overrightarrow{CB}=(x-4,y-0)=(x-4,y)$，
∴$\begin{cases}x-4=2\\y=2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=6\\y=2\end{cases}$，
∴点B的坐标为(6,2)。
A
7. (2025·浦北县校级月考)如图,在平行四边形$ABCD$中,$AE⊥ BC$于点$E$,$AF⊥ CD$于点$F$,若平行四边形$ABCD$的周长为$34$,且$AE = \frac{28}{5}$,$AF = 8$,则平行四边形$ABCD$的面积为
56
.答案：7. 56
解析：
解：设$BC=x$，$CD=y$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB=CD=y$，$AD=BC=x$。
平行四边形$ABCD$的周长为$34$，则$2(x + y)=34$，即$x + y=17$。
平行四边形的面积$S=BC· AE=CD· AF$，已知$AE = \frac{28}{5}$，$AF = 8$，所以$x·\frac{28}{5}=y·8$，即$\frac{28}{5}x=8y$，化简得$7x = 10y$。
联立方程组：
$\begin{cases}x + y=17 \\7x = 10y\end{cases}$
由$7x = 10y$得$y=\frac{7}{10}x$，代入$x + y=17$，得$x+\frac{7}{10}x=17$，$\frac{17}{10}x=17$，解得$x = 10$。
则平行四边形$ABCD$的面积$S=BC· AE=10×\frac{28}{5}=56$。
56
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB=CD=y$，$AD=BC=x$。
平行四边形$ABCD$的周长为$34$，则$2(x + y)=34$，即$x + y=17$。
平行四边形的面积$S=BC· AE=CD· AF$，已知$AE = \frac{28}{5}$，$AF = 8$，所以$x·\frac{28}{5}=y·8$，即$\frac{28}{5}x=8y$，化简得$7x = 10y$。
联立方程组：
$\begin{cases}x + y=17 \\7x = 10y\end{cases}$
由$7x = 10y$得$y=\frac{7}{10}x$，代入$x + y=17$，得$x+\frac{7}{10}x=17$，$\frac{17}{10}x=17$，解得$x = 10$。
则平行四边形$ABCD$的面积$S=BC· AE=10×\frac{28}{5}=56$。
56