8. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$BF$平分$∠ ABC$,交$AD$于点$F$,$CE$平分$∠ BCD$,交$AD$于点$E$.
(1)求证:$AF = DE$;
(2)若$EF = 1$,$□ ABCD$的周长为$46$,求$BC$的长.
(1)求证:$AF = DE$;
(2)若$EF = 1$,$□ ABCD$的周长为$46$,求$BC$的长.
答案：8. (1) 证明: $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形, $ \therefore A B = C D $, $ A D = B C $, $ A D // BC $, $ \therefore ∠ A F B = ∠ C B F $, $ ∠ D E C = ∠ B C E $. $ \because B F $ 平分 $ ∠ A B C $, $ C E $ 平分 $ ∠ B C D $, $ \therefore ∠ A B F = ∠ F B C = ∠ A F B $, $ ∠ D C E = ∠ B C E = ∠ D E C $, $ \therefore A B = A F $, $ D C = D E $, $ \therefore A F = D E $.
(2) 解: $ \because □ A B C D $ 的周长为 46, $ \therefore A D + A B = 23 $. $ \because E F = 1 $, $ \therefore 2 A B - A D = E F = 1 $, $ \therefore A B = 8 $, $ A D = 15 $, $ \therefore B C = 15 $.
(2) 解: $ \because □ A B C D $ 的周长为 46, $ \therefore A D + A B = 23 $. $ \because E F = 1 $, $ \therefore 2 A B - A D = E F = 1 $, $ \therefore A B = 8 $, $ A D = 15 $, $ \therefore B C = 15 $.
9. 如图,在$□ ABCD$中,$BE$,$DG$分别平分$∠ ABC$,$∠ ADC$,交$AC$于点$E$,$G$.
(1)求证:$BE// DG$,$BE = DG$;
(2)过点$E$作$EF⊥ AB$,垂足为$F$.若$□ ABCD$的周长为$56$,$EF = 6$,求$△ ABC$的面积.
(1)求证:$BE// DG$,$BE = DG$;
(2)过点$E$作$EF⊥ AB$,垂足为$F$.若$□ ABCD$的周长为$56$,$EF = 6$,求$△ ABC$的面积.
答案：
9. (1) 证明: 在 $ □ A B C D $ 中, $ AD // BC $, $ ∠ ABC = ∠ ADC $, $ AD = BC $, $ \therefore ∠ DAC = ∠ BCA $. $ \because BE $, $ DG $ 分别平分 $ ∠ ABC $, $ ∠ ADC $, $ \therefore ∠ ADG = ∠ CBE $. $ \because ∠ DGE = ∠ DAC + ∠ ADG $, $ ∠ BEG = ∠ BCA + ∠ CBE $, $ \therefore ∠ DGE = ∠ BEG $, $ \therefore BE // DG $. 在 $ △ ADG $ 和 $ △ CBE $ 中, $ \{ \begin{array} { l } { ∠ DAG = ∠ BCE, } \\ { AD = CB, } \\ { ∠ ADG = ∠ CBE, } \end{array} $ $ \therefore △ ADG ≌ △ CBE ( \mathrm { ASA } ) $, $ \therefore BE = DG $.
(2) 解: 过点 $ E $ 作 $ EH ⊥ BC $ 于点 $ H $, 如答图. $ \because BE $ 平分 $ ∠ ABC $, $ EF ⊥ AB $, $ \therefore EH = EF = 6 $. $ \because □ ABCD $ 的周长为 56, $ \therefore AB + BC = 28 $, $ \therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB· EF + \frac{1}{2}BC· EH = \frac{1}{2}EF(AB + BC) = \frac{1}{2} × 6 × 28 = 84 $.
9. (1) 证明: 在 $ □ A B C D $ 中, $ AD // BC $, $ ∠ ABC = ∠ ADC $, $ AD = BC $, $ \therefore ∠ DAC = ∠ BCA $. $ \because BE $, $ DG $ 分别平分 $ ∠ ABC $, $ ∠ ADC $, $ \therefore ∠ ADG = ∠ CBE $. $ \because ∠ DGE = ∠ DAC + ∠ ADG $, $ ∠ BEG = ∠ BCA + ∠ CBE $, $ \therefore ∠ DGE = ∠ BEG $, $ \therefore BE // DG $. 在 $ △ ADG $ 和 $ △ CBE $ 中, $ \{ \begin{array} { l } { ∠ DAG = ∠ BCE, } \\ { AD = CB, } \\ { ∠ ADG = ∠ CBE, } \end{array} $ $ \therefore △ ADG ≌ △ CBE ( \mathrm { ASA } ) $, $ \therefore BE = DG $.
(2) 解: 过点 $ E $ 作 $ EH ⊥ BC $ 于点 $ H $, 如答图. $ \because BE $ 平分 $ ∠ ABC $, $ EF ⊥ AB $, $ \therefore EH = EF = 6 $. $ \because □ ABCD $ 的周长为 56, $ \therefore AB + BC = 28 $, $ \therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB· EF + \frac{1}{2}BC· EH = \frac{1}{2}EF(AB + BC) = \frac{1}{2} × 6 × 28 = 84 $.