1. (2025·万全区期末)如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，$BC = 10$，$AC = 8$，$BD = 14$，则 $△ BOC$ 的周长是(
A.$21$
B.$22$
C.$25$
D.$3$
A
)A.$21$
B.$22$
C.$25$
D.$3$
答案：1. A
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$BO=\frac{1}{2}BD$，$CO=\frac{1}{2}AC$，$BC=10$。
∵$AC = 8$，$BD = 14$，
∴$BO=\frac{1}{2}×14 = 7$，$CO=\frac{1}{2}×8 = 4$。
∴$△ BOC$的周长为$BO + CO + BC=7 + 4 + 10=21$。
A
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$BO=\frac{1}{2}BD$，$CO=\frac{1}{2}AC$，$BC=10$。
∵$AC = 8$，$BD = 14$，
∴$BO=\frac{1}{2}×14 = 7$，$CO=\frac{1}{2}×8 = 4$。
∴$△ BOC$的周长为$BO + CO + BC=7 + 4 + 10=21$。
A
2. 平行四边形
是
中心对称图形. (填“是”或“不是”)答案：2. 是
3. (2025·龙川县期末)如图，平行四边形的对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$，过点 $O$ 的直线分别交 $CD$，$AB$ 于点 $E$，$F$，且 $AB = 10$，$BC = 6$，$∠ BCD = 30^{\circ}$，那么图中阴影部分的面积为
15
.答案：3. 15
解析：
解：过点$B$作$BH ⊥ CD$于点$H$。
在平行四边形$ABCD$中，$AB = CD = 10$，$BC = 6$，$∠ BCD = 30°$。
在$Rt△ BCH$中，$BH = BC · \sin 30° = 6 × \frac{1}{2} = 3$。
平行四边形$ABCD$的面积为$CD · BH = 10 × 3 = 30$。
因为平行四边形对角线互相平分，所以$AO = CO$，易证$△ AOF ≌ △ COE$，则$S_{△ AOF} = S_{△ COE}$。
阴影部分面积$S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ AOD} + S_{△ COE} = S_{△ AOD} + S_{△ AOF} = S_{△ ACD}$。
又因为$S_{△ ACD} = \frac{1}{2}S_{\mathrm{平行四边形}ABCD} = \frac{1}{2} × 30 = 15$。
15
在平行四边形$ABCD$中，$AB = CD = 10$，$BC = 6$，$∠ BCD = 30°$。
在$Rt△ BCH$中，$BH = BC · \sin 30° = 6 × \frac{1}{2} = 3$。
平行四边形$ABCD$的面积为$CD · BH = 10 × 3 = 30$。
因为平行四边形对角线互相平分，所以$AO = CO$，易证$△ AOF ≌ △ COE$，则$S_{△ AOF} = S_{△ COE}$。
阴影部分面积$S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ AOD} + S_{△ COE} = S_{△ AOD} + S_{△ AOF} = S_{△ ACD}$。
又因为$S_{△ ACD} = \frac{1}{2}S_{\mathrm{平行四边形}ABCD} = \frac{1}{2} × 30 = 15$。
15
4. (2025·盐城月考)如图，在 $□ ABCD$ 中，对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$，如果 $AC = 10$，$BD = 12$，$AB = m$，那么 $m$ 的取值范围是
$1 ＜ m ＜ 11$
.答案：4. $1 ＜ m ＜ 11$
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，$AC = 10$，$BD = 12$，
∴$OA=\frac{1}{2}AC = 5$，$OB=\frac{1}{2}BD = 6$。
在$△ AOB$中，根据三角形三边关系可得：$OB - OA＜AB＜OA + OB$，
即$6 - 5＜m＜6 + 5$，
∴$1＜m＜11$。
$1＜m＜11$
∵四边形$ABCD$是平行四边形，$AC = 10$，$BD = 12$，
∴$OA=\frac{1}{2}AC = 5$，$OB=\frac{1}{2}BD = 6$。
在$△ AOB$中，根据三角形三边关系可得：$OB - OA＜AB＜OA + OB$，
即$6 - 5＜m＜6 + 5$，
∴$1＜m＜11$。
$1＜m＜11$
5. 如图，在 $□ ABCD$ 中，点 $M$，$N$ 分别在边 $BC$，$AD$ 上，且 $AM// CN$，对角线 $BD$ 分别交 $AM$，$CN$ 于点 $E$，$F$. 求证：$BE = DF$.
答案：
5. 证明:连接AC交BD于点O,如答图.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ $AO = OC$, $BO = DO$.
∵ $AM // CN$,
∴ $∠EAC = ∠FCA$.
在 $△AEO$ 与 $△CFO$ 中,
$\{\begin{array}{l}∠EAO = ∠FCO, \\AO = CO, \\∠AOE = ∠COF,\end{array} $
∴ $△AOE ≌ △COF(ASA)$,
∴ $OE = OF$,
∴ $BO - OE = OD - OF$,
∴ $BE = DF$.
5. 证明:连接AC交BD于点O,如答图.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ $AO = OC$, $BO = DO$.
∵ $AM // CN$,
∴ $∠EAC = ∠FCA$.
在 $△AEO$ 与 $△CFO$ 中,
$\{\begin{array}{l}∠EAO = ∠FCO, \\AO = CO, \\∠AOE = ∠COF,\end{array} $
∴ $△AOE ≌ △COF(ASA)$,
∴ $OE = OF$,
∴ $BO - OE = OD - OF$,
∴ $BE = DF$.
6. (2025·东港区月考)如图，平行四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$EF$ 过点 $O$ 与 $AD$，$BC$ 分别相交于点 $E$，$F$. 若 $AB = 4$，$BC = 5$，$OE = 1.5$，那么四边形 $EFCD$ 的周长为(
A.$16$
B.$14$
C.$12$
D.$10$
C
)A.$16$
B.$14$
C.$12$
D.$10$
答案：6. C
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$AD = BC = 5$，$CD = AB = 4$，$OA = OC$，
$\therefore ∠ OAE=∠ OCF$，
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\{\begin{array}{l} ∠ OAE=∠ OCF\\ OA = OC\\ ∠ AOE=∠ COF\end{array} $，
$\therefore △ AOE≌△ COF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore OE = OF = 1.5$，$AE = CF$，
$\therefore EF=OE + OF=3$，
$\because DE=AD - AE$，
$\therefore DE + CF=AD - AE + CF=AD=5$，
$\therefore$四边形$EFCD$的周长$=DE + CF + CD + EF=5 + 4 + 3=12$。
C
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$AD = BC = 5$，$CD = AB = 4$，$OA = OC$，
$\therefore ∠ OAE=∠ OCF$，
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\{\begin{array}{l} ∠ OAE=∠ OCF\\ OA = OC\\ ∠ AOE=∠ COF\end{array} $，
$\therefore △ AOE≌△ COF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore OE = OF = 1.5$，$AE = CF$，
$\therefore EF=OE + OF=3$，
$\because DE=AD - AE$，
$\therefore DE + CF=AD - AE + CF=AD=5$，
$\therefore$四边形$EFCD$的周长$=DE + CF + CD + EF=5 + 4 + 3=12$。
C
7. (2025·阳东区期末)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 $OABC$ 的边 $OC$ 落在 $x$ 轴的正半轴上，且点 $A(2,2)$，$C(4,0)$，若直线 $y = 2x + 1$ 以每秒 $1$ 个单位长度的速度向下平移，则经过多少秒该直线可将平行四边形 $OABC$ 的面积平分(
A.$6$ 秒
B.$\frac{7}{2}$ 秒
C.$5$ 秒
D.$3$ 秒
A
)A.$6$ 秒
B.$\frac{7}{2}$ 秒
C.$5$ 秒
D.$3$ 秒
答案：7. A
解析：
解：在平行四边形$OABC$中，$O(0,0)$，$C(4,0)$，$A(2,2)$。
$\because$平行四边形对角线互相平分，$\therefore$对角线$OB$与$AC$的交点$M$为对称中心。
$AC$中点$M$的坐标为$(\dfrac{2 + 4}{2},\dfrac{2 + 0}{2})=(3,1)$。
设平移后直线为$y = 2x + b$，$\because$直线过$M(3,1)$，$\therefore 1=2×3 + b$，解得$b=-5$。
原直线$y = 2x + 1$向下平移的距离为$1 - (-5)=6$，$\because$速度为每秒$1$个单位，$\therefore$时间为$6$秒。
答案：A
$\because$平行四边形对角线互相平分，$\therefore$对角线$OB$与$AC$的交点$M$为对称中心。
$AC$中点$M$的坐标为$(\dfrac{2 + 4}{2},\dfrac{2 + 0}{2})=(3,1)$。
设平移后直线为$y = 2x + b$，$\because$直线过$M(3,1)$，$\therefore 1=2×3 + b$，解得$b=-5$。
原直线$y = 2x + 1$向下平移的距离为$1 - (-5)=6$，$\because$速度为每秒$1$个单位，$\therefore$时间为$6$秒。
答案：A