1. 如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别是$AC$，$BC$的中点，以点$A$为圆心，$AD$长为半径作圆弧交$AB$于点$F$.若$AD = 8$，$DE = 5$，则$BF$的长为(
A.4
B.3
C.2
D.1
C
)A.4
B.3
C.2
D.1
答案：1.C
解析：
解：
∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，
∵DE=5，
∴AB=2DE=10，
∵以点A为圆心，AD长为半径作圆弧交AB于点F，AD=8，
∴AF=AD=8，
∴BF=AB-AF=10-8=2.
答案：C
∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，
∵DE=5，
∴AB=2DE=10，
∵以点A为圆心，AD长为半径作圆弧交AB于点F，AD=8，
∴AF=AD=8，
∴BF=AB-AF=10-8=2.
答案：C
2. 如图，在四边形$ABCD$中，$E$，$F$，$G$，$H$分别是线段$AD$，$BD$，$BC$，$AC$的中点，要使四边形$EFGH$是菱形，需添加的条件是(
A.$AC = BD$
B.$AC⊥ BD$
C.$AB = CD$
D.$AB⊥ CD$
C
)A.$AC = BD$
B.$AC⊥ BD$
C.$AB = CD$
D.$AB⊥ CD$
答案：2.C
解析：
证明：
∵E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，
∴EF是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，
GH是△ABC的中位线，EH是△ACD的中位线，
∴EF$//$AB，EF=$\frac{1}{2}$AB；FG$//$CD，FG=$\frac{1}{2}$CD；
GH$//$AB，GH=$\frac{1}{2}$AB；EH$//$CD，EH=$\frac{1}{2}$CD，
∴EF$//$GH，EF=GH；FG$//$EH，FG=EH，
∴四边形EFGH是平行四边形.
要使四边形EFGH是菱形，需EF=FG，
即$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CD，
∴AB=CD.
C
∵E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，
∴EF是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，
GH是△ABC的中位线，EH是△ACD的中位线，
∴EF$//$AB，EF=$\frac{1}{2}$AB；FG$//$CD，FG=$\frac{1}{2}$CD；
GH$//$AB，GH=$\frac{1}{2}$AB；EH$//$CD，EH=$\frac{1}{2}$CD，
∴EF$//$GH，EF=GH；FG$//$EH，FG=EH，
∴四边形EFGH是平行四边形.
要使四边形EFGH是菱形，需EF=FG，
即$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CD，
∴AB=CD.
C
3.(2024·浙江)如图，$D$，$E$分别是$△ ABC$的边$AB$，$AC$的中点，连接$BE$，$DE$.若$∠ AED=∠ BEC$，$DE = 2$，则$BE$的长为
4
.答案：3.4
解析：
证明：
∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE = $\frac{1}{2}$BC，
∵DE = 2，
∴BC = 4，
∵DE//BC，
∴∠AED = ∠C，
∵∠AED = ∠BEC，
∴∠C = ∠BEC，
∴BE = BC = 4.
4
∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE = $\frac{1}{2}$BC，
∵DE = 2，
∴BC = 4，
∵DE//BC，
∴∠AED = ∠C，
∵∠AED = ∠BEC，
∴∠C = ∠BEC，
∴BE = BC = 4.
4
4. 如图，在“飞镖形”$ABCD$中，$E$，$F$，$G$，$H$分别是$AB$，$BC$，$CD$，$DA$的中点.
(1)求证：四边形$EFGH$是平行四边形；
(2)“飞镖形”$ABCD$满足条件
(1)求证：四边形$EFGH$是平行四边形；
(2)“飞镖形”$ABCD$满足条件
AC=BD
时，四边形$EFGH$是菱形.答案：
4.(1)证明:连接AC,如答图.
∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC,EF//AC,HG=$\frac{1}{2}$AC,HG//AC,
∴EF=HG,HG//EF,
∴四边形EFGH是平行四边形
(2)AC=BD
4.(1)证明:连接AC,如答图.
∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC,EF//AC,HG=$\frac{1}{2}$AC,HG//AC,
∴EF=HG,HG//EF,
∴四边形EFGH是平行四边形
(2)AC=BD
5. 如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别是边$AB$，$AC$的中点，$F$是线段$DE$上的一点.连接$AF$，$BF$，$∠ AFB = 90^{\circ}$，且$AB = 10$，$BC = 18$，则$EF$的长是
4
.答案：5.4
解析：
解：
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}×18 = 9$，且D是AB中点，AD = DB = $\frac{1}{2}×10 = 5$。
∵∠AFB = 90°，D是AB中点，
∴DF = $\frac{1}{2}$AB = 5（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
∴EF = DE - DF = 9 - 5 = 4。
答案：4
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}×18 = 9$，且D是AB中点，AD = DB = $\frac{1}{2}×10 = 5$。
∵∠AFB = 90°，D是AB中点，
∴DF = $\frac{1}{2}$AB = 5（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
∴EF = DE - DF = 9 - 5 = 4。
答案：4
6. 如图，在四边形$ABCD$中，$AC$平分$∠ BAD$，$∠ ACD=∠ ABC = 90^{\circ}$，$E$，$F$分别为$AC$，$CD$的中点，$∠ D = α$，则$∠ BEF$的度数为
$270^{\circ}-3α$
.(用含$α$的式子表示)答案：6.$270^{\circ}-3α$
7. 如图，点$E$在正方形$ABCD$的边$AB$上，以$BE$为边向正方形$ABCD$外部作正方形$BEFG$，连接$DF$，$M$，$N$分别是$DC$，$DF$的中点，连接$MN$.若$AB = 7$，$BE = 5$，则$MN =$
6.5
.答案：7.6.5
解析：
解：连接CF。
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=7，BE=EF=FG=BG=5，∠G=∠CBE=∠ABC=90°。
∴GC=GB+BC=5+7=12，FG=5。
在Rt△FGC中，FC=$\sqrt{FG^2+GC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
∵M，N分别是DC，DF的中点，
∴MN是△DFC的中位线。
∴MN=$\frac{1}{2}$FC=$\frac{1}{2}×13=6.5$。
6.5
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=7，BE=EF=FG=BG=5，∠G=∠CBE=∠ABC=90°。
∴GC=GB+BC=5+7=12，FG=5。
在Rt△FGC中，FC=$\sqrt{FG^2+GC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
∵M，N分别是DC，DF的中点，
∴MN是△DFC的中位线。
∴MN=$\frac{1}{2}$FC=$\frac{1}{2}×13=6.5$。
6.5