8. 如图，线段$DE$与$AF$分别为$△ ABC$的中位线与中线.
（1）求证：$AF$与$DE$互相平分；
（2）当线段$AF$与$BC$满足怎样的数量关系时，四边形$ADFE$为矩形？请说明理由.
（1）求证：$AF$与$DE$互相平分；
（2）当线段$AF$与$BC$满足怎样的数量关系时，四边形$ADFE$为矩形？请说明理由.
答案：8.(1)证明:
∵DE和AF分别是△ABC的中位线和中线,
∴AD=$\frac{1}{2}$AB,EF是△ABC的中位线，
∴EF//AB,EF=$\frac{1}{2}$AB,
∴EF=AD,
∴四边形ADFE是平行四边形,
∴AF与DE互相平分.
(2)解:当AF=$\frac{1}{2}$BC时，四边形ADFE为矩形.
理由:
∵线段DE为△ABC的中位线,
∴DE=$\frac{1}{2}$BC.
∵AF=$\frac{1}{2}$BC,
∴AF=DE.
由(1)得，四边形ADFE是平行四边形,
∴四边形ADFE为矩形.
∵DE和AF分别是△ABC的中位线和中线,
∴AD=$\frac{1}{2}$AB,EF是△ABC的中位线，
∴EF//AB,EF=$\frac{1}{2}$AB,
∴EF=AD,
∴四边形ADFE是平行四边形,
∴AF与DE互相平分.
(2)解:当AF=$\frac{1}{2}$BC时，四边形ADFE为矩形.
理由:
∵线段DE为△ABC的中位线,
∴DE=$\frac{1}{2}$BC.
∵AF=$\frac{1}{2}$BC,
∴AF=DE.
由(1)得，四边形ADFE是平行四边形,
∴四边形ADFE为矩形.
9. 如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，点$F$在$BE$上，连接$DF$.
（1）若$∠ ADE=∠ ABC$，$∠ EDF=∠ ACB$，求证：$DF// AC$；
（2）若$D$，$E$，$F$分别是$AB$，$AC$，$BE$的中点，连接$CF$，若四边形$CEDF$的面积为$9$，试求$△ ABC$的面积.
（1）若$∠ ADE=∠ ABC$，$∠ EDF=∠ ACB$，求证：$DF// AC$；
（2）若$D$，$E$，$F$分别是$AB$，$AC$，$BE$的中点，连接$CF$，若四边形$CEDF$的面积为$9$，试求$△ ABC$的面积.
答案：9.(1)证明:
∵∠ADE=∠ABC,
∴DE//BC,
∴∠AED=∠ACB.
又
∵∠EDF=∠ACB,
∴∠AED=∠EDF,
∴DF//AC.
(2)解:
∵D,E,F分别是AB,AC,BE的中点,
∴DF是△ABE的中位线,
∴DF//AE,且DF=$\frac{1}{2}$AE.
设$S_{△ DEF}=x$,
∵E是AC的中点,
∴$S_{△ ADE}=S_{△ CEF}=2x$.
∵F是BE的中点,
∴$S_{△ BDF}=S_{△ DEF}=x$,$S_{△ BCF}=S_{△ CEF}=2x$,
∴$S_{四边形CEDF}=3x$.
∵$S_{四边形CEDF}=9$,
∴$3x = 9$,
∴$x = 3$,
∴$S_{△ ABC}=8×3 = 24$.
∵∠ADE=∠ABC,
∴DE//BC,
∴∠AED=∠ACB.
又
∵∠EDF=∠ACB,
∴∠AED=∠EDF,
∴DF//AC.
(2)解:
∵D,E,F分别是AB,AC,BE的中点,
∴DF是△ABE的中位线,
∴DF//AE,且DF=$\frac{1}{2}$AE.
设$S_{△ DEF}=x$,
∵E是AC的中点,
∴$S_{△ ADE}=S_{△ CEF}=2x$.
∵F是BE的中点,
∴$S_{△ BDF}=S_{△ DEF}=x$,$S_{△ BCF}=S_{△ CEF}=2x$,
∴$S_{四边形CEDF}=3x$.
∵$S_{四边形CEDF}=9$,
∴$3x = 9$,
∴$x = 3$,
∴$S_{△ ABC}=8×3 = 24$.
10. 如图，在四边形$ABCD$中，$E$，$F$分别是$BC$，$AD$的中点，连接$EF$并延长，分别与$BA$，$CD$的延长线交于点$M$，$N$.若$AB = CD$，求证：$∠ BME=∠ CNE$.
答案：
10.证明:连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF,如答图.
∵E,F分别是BC,AD的中点，
∴FH//BM,FH=$\frac{1}{2}$AB,EH//CN,EH=$\frac{1}{2}$CD,
∴∠BME=∠HFE、∠CNE=∠HEF.
∵AB=CD,
∴FH=EH,
∴∠HFE=∠HEF,
∴∠BME=∠CNE;
10.证明:连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF,如答图.
∵E,F分别是BC,AD的中点，
∴FH//BM,FH=$\frac{1}{2}$AB,EH//CN,EH=$\frac{1}{2}$CD,
∴∠BME=∠HFE、∠CNE=∠HEF.
∵AB=CD,
∴FH=EH,
∴∠HFE=∠HEF,
∴∠BME=∠CNE;