1. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
(1) 求证：AF=DC；
(2) 若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并说明理由.
(1) 求证：AF=DC；
(2) 若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并说明理由.
答案：1.(1)证明:
∵E是AD的中点,
∴AE=DE.
∵AF//BC,
∴∠AFE=∠DBE.
在△AFE和△DBE中,
$\{ \begin{array} { l } { ∠ A F E = ∠ D B E, } \\ { ∠ F E A = ∠ B E D, } \\ { A E = D E, } \end{array} $
∴△AFE≌△DBE(AAS),
∴AF=DB.
∵AD是BC边上的中线,
∴DC=DB,
∴AF=DC.
(2)解:四边形ADCF是矩形.
理由:连接DF,
由(1)得AF=DB,AF//DB,
∴四边形ABDF是平行四边形,
∴AB=DF.
∵AB=AC,
∴AC=DF.
由(1)得AF=DC,AF//DC,
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AC=DF,
∴四边形ADCF是矩形.
∵E是AD的中点,
∴AE=DE.
∵AF//BC,
∴∠AFE=∠DBE.
在△AFE和△DBE中,
$\{ \begin{array} { l } { ∠ A F E = ∠ D B E, } \\ { ∠ F E A = ∠ B E D, } \\ { A E = D E, } \end{array} $
∴△AFE≌△DBE(AAS),
∴AF=DB.
∵AD是BC边上的中线,
∴DC=DB,
∴AF=DC.
(2)解:四边形ADCF是矩形.
理由:连接DF,
由(1)得AF=DB,AF//DB,
∴四边形ABDF是平行四边形,
∴AB=DF.
∵AB=AC,
∴AC=DF.
由(1)得AF=DC,AF//DC,
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AC=DF,
∴四边形ADCF是矩形.
2. (1) 如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点. 求证：∠PMN=∠PNM；
【应用】连接AC，并取AC的中点Q，连接MQ，NQ.
(2) 若AD=8，则四边形PMQN的周长为
(3) 若AD=4，且∠DAB+∠ABC=90°，则四边形PMQN的面积为
【应用】连接AC，并取AC的中点Q，连接MQ，NQ.
(2) 若AD=8，则四边形PMQN的周长为
16
；(3) 若AD=4，且∠DAB+∠ABC=90°，则四边形PMQN的面积为
4
.答案：2.(1)证明:
∵P,M,N分别是BD,DC,AB的中点，
∴PN,PM分别是△ABD,△BCD的中位线,
∴PN=$\frac{1}{2}$AD,PM=$\frac{1}{2}$BC.
∵AD=BC,
∴PN=PM,
∴∠PMN=∠PNM.
(2)16
(3)4
∵P,M,N分别是BD,DC,AB的中点，
∴PN,PM分别是△ABD,△BCD的中位线,
∴PN=$\frac{1}{2}$AD,PM=$\frac{1}{2}$BC.
∵AD=BC,
∴PN=PM,
∴∠PMN=∠PNM.
(2)16
(3)4
3. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF=EG. 求证：BD=AC.
答案：
3.证明:取DC的中点H,连接MH,NH,如答图.
∵M,H分别是AD,DC的中点，
∴MH是△ADC的中位线，
∴MH//AC且MH=$\frac{1}{2}$AC.
同理可得NH//BD且NH=$\frac{1}{2}$BD.
∵EF=EG,
∴∠EFG=∠EGF.
∵MH//AC,NH//BD,
∴∠EFG=∠HMN,∠EGF=∠HNM,
∴∠HMN=∠HNM,
∴MH=NH,
∴AC=BD.
3.证明:取DC的中点H,连接MH,NH,如答图.
∵M,H分别是AD,DC的中点，
∴MH是△ADC的中位线，
∴MH//AC且MH=$\frac{1}{2}$AC.
同理可得NH//BD且NH=$\frac{1}{2}$BD.
∵EF=EG,
∴∠EFG=∠EGF.
∵MH//AC,NH//BD,
∴∠EFG=∠HMN,∠EGF=∠HNM,
∴∠HMN=∠HNM,
∴MH=NH,
∴AC=BD.