7. 如图①，$∠ B=∠ C = 90^{\circ}$，$AB = 2CD$，点 $P$ 以每秒 $2\ \mathrm{cm}$ 的速度从点 $B$ 出发，沿 $B - C - D$ 路线运动，到点 $D$ 停止。如图②反映的是 $△ ABP$ 的面积 $S(\mathrm{cm}^{2})$ 与点 $P$ 的运动时间 $x(\mathrm{s})$ 之间的关系，则梯形 $ABCD$ 的面积为
72
$\mathrm{cm}^{2}$。答案：7.72
解析：
解：设 $CD = a$，则 $AB = 2a$，$BC = b$，$PC = c$。
点 $P$ 在 $BC$ 上运动时，$BP = 2x$，$S = \frac{1}{2} × AB × BP = \frac{1}{2} × 2a × 2x = 2ax$。由图②知，$x=6$时 $P$ 到达 $C$，则 $BC = 2 × 6 = 12\ \mathrm{cm}$，此时 $S = m = 2a × 6 = 12a$。
点 $P$ 在 $CD$ 上运动时，$S = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 2a × 12 = 12a$，为定值。运动时间 $8 - 6 = 2\ \mathrm{s}$，则 $CD = 2 × 2 = 4\ \mathrm{cm}$，即 $a = 4$，故 $AB = 8\ \mathrm{cm}$。
梯形 $ABCD$ 面积为 $\frac{1}{2} × (AB + CD) × BC = \frac{1}{2} × (8 + 4) × 12 = 72\ \mathrm{cm}^2$。
72
点 $P$ 在 $BC$ 上运动时，$BP = 2x$，$S = \frac{1}{2} × AB × BP = \frac{1}{2} × 2a × 2x = 2ax$。由图②知，$x=6$时 $P$ 到达 $C$，则 $BC = 2 × 6 = 12\ \mathrm{cm}$，此时 $S = m = 2a × 6 = 12a$。
点 $P$ 在 $CD$ 上运动时，$S = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 2a × 12 = 12a$，为定值。运动时间 $8 - 6 = 2\ \mathrm{s}$，则 $CD = 2 × 2 = 4\ \mathrm{cm}$，即 $a = 4$，故 $AB = 8\ \mathrm{cm}$。
梯形 $ABCD$ 面积为 $\frac{1}{2} × (AB + CD) × BC = \frac{1}{2} × (8 + 4) × 12 = 72\ \mathrm{cm}^2$。
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8. 如图，$∠ ABP = 90^{\circ}$，$AB = 8$，点 $C$，$E$ 在射线 $BP$ 上（点 $C$，$E$ 不与点 $B$ 重合且点 $C$ 在点 $E$ 的左侧），连接 $AC$，$AE$，$D$ 为 $AC$ 的中点，过点 $C$ 作 $CF// AE$，交 $ED$ 的延长线于点 $F$，连接 $AF$。
(1) 求证：四边形 $ABCF$ 是梯形；
(2) 如果 $CE = 5$，当 $△ CDE$ 为等腰三角形时，求 $BC$ 的长。
]
(1) 求证：四边形 $ABCF$ 是梯形；
(2) 如果 $CE = 5$，当 $△ CDE$ 为等腰三角形时，求 $BC$ 的长。
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答案：
8.(1)证明：
∵CF//AE，
∴∠DCF=∠DAE，∠DFC=∠DEA.
∵D为AC的中点，
∴CD=AD.
在△DCF和△DAE中，$\begin{cases} ∠ DCF=∠ DAE,\\ ∠ DFC=∠ DEA,\\ CD=AD, \end{cases}$
∴△DCF≌△DAE(AAS)，
∴CF=AE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF//CE，即AF//BC.
∵CF//AE，AE与AB交于点A，
∴CF与AB不平行，
∴四边形ABCF是梯形.
(2)解：△CDE为等腰三角形，有以下三种情况：
①当CD=CE=5时，如答图①所示，
∵D为AC的中点，
∴AC=2CD=10.
∵AB=8，∠ABP=90°，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得$BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=6$；
②当CE=DE=5时，过点F作FH⊥BP于点H，如答图②所示，
由(1)可知，四边形AECF为平行四边形，
∴EF=2DE=10，AF=CE=5，AF//BP.
∵∠ABP=90°，FH⊥BP，
∴四边形ABHF为矩形，
∴BH=AF=5，FH=AB=8.
在Rt△EFH中，由勾股定理，得$EH=\sqrt{EF^{2}-FH^{2}}=6$，
∴BC=BH+EH+CE=5+6+5=16；
③当CD=DE时，如答图③所示，
由(1)可知，四边形AECF为平行四边形，
∴AC=EF，此时平行四边形AECF为矩形，即∠AEC=90°.
∵∠ABP=90°，
∴点B与点E重合，不合题意.
综上所述，BC的长为6或16.
8.(1)证明：
∵CF//AE，
∴∠DCF=∠DAE，∠DFC=∠DEA.
∵D为AC的中点，
∴CD=AD.
在△DCF和△DAE中，$\begin{cases} ∠ DCF=∠ DAE,\\ ∠ DFC=∠ DEA,\\ CD=AD, \end{cases}$
∴△DCF≌△DAE(AAS)，
∴CF=AE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF//CE，即AF//BC.
∵CF//AE，AE与AB交于点A，
∴CF与AB不平行，
∴四边形ABCF是梯形.
(2)解：△CDE为等腰三角形，有以下三种情况：
①当CD=CE=5时，如答图①所示，
∵D为AC的中点，
∴AC=2CD=10.
∵AB=8，∠ABP=90°，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得$BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=6$；
②当CE=DE=5时，过点F作FH⊥BP于点H，如答图②所示，
由(1)可知，四边形AECF为平行四边形，
∴EF=2DE=10，AF=CE=5，AF//BP.
∵∠ABP=90°，FH⊥BP，
∴四边形ABHF为矩形，
∴BH=AF=5，FH=AB=8.
在Rt△EFH中，由勾股定理，得$EH=\sqrt{EF^{2}-FH^{2}}=6$，
∴BC=BH+EH+CE=5+6+5=16；
③当CD=DE时，如答图③所示，
由(1)可知，四边形AECF为平行四边形，
∴AC=EF，此时平行四边形AECF为矩形，即∠AEC=90°.
∵∠ABP=90°，
∴点B与点E重合，不合题意.
综上所述，BC的长为6或16.