10. 分解因式：
(1) $x^{4}-y^{4}$；
(2) $(a + m)^{2}-(b + n)^{2}$；
(3) $16(x + y)^{2}-9(x - y)^{2}$.
(1) $x^{4}-y^{4}$；
(2) $(a + m)^{2}-(b + n)^{2}$；
(3) $16(x + y)^{2}-9(x - y)^{2}$.
答案：10. 解: (1) 原式 $=(x^{2} + y^{2})(x^{2} - y^{2}) = (x^{2} + y^{2})(x + y)(x - y)$
(2) 原式 $=(a + m + b + n)(a + m - b - n)$
(3) 原式 $=[4(x + y) + 3(x - y)][4(x + y) - 3(x - y)] = (7x + y)(x + 7y)$
(2) 原式 $=(a + m + b + n)(a + m - b - n)$
(3) 原式 $=[4(x + y) + 3(x - y)][4(x + y) - 3(x - y)] = (7x + y)(x + 7y)$
11. 利用因式分解计算：
(1) $101^{2}-99^{2}$；
(2) $(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×···×(1-\frac{1}{10^{2}})$.
(1) $101^{2}-99^{2}$；
(2) $(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×···×(1-\frac{1}{10^{2}})$.
答案：11. 解: (1) 原式 $=(101 + 99)×(101 - 99) = 400$
(2) 原式 $=(1 - \frac{1}{2})×(1 + \frac{1}{2})×(1 - \frac{1}{3})×(1 + \frac{1}{3})×(1 - \frac{1}{4})×(1 + \frac{1}{4})×···×(1 - \frac{1}{10})×(1 + \frac{1}{10}) = \frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×···×\frac{9}{10}×\frac{11}{10} = \frac{1}{2}×\frac{11}{10} = \frac{11}{20}$
(2) 原式 $=(1 - \frac{1}{2})×(1 + \frac{1}{2})×(1 - \frac{1}{3})×(1 + \frac{1}{3})×(1 - \frac{1}{4})×(1 + \frac{1}{4})×···×(1 - \frac{1}{10})×(1 + \frac{1}{10}) = \frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×···×\frac{9}{10}×\frac{11}{10} = \frac{1}{2}×\frac{11}{10} = \frac{11}{20}$
12. 已知$4m + n = 40$，$2m - 3n = 5$，求$(m + 2n)^{2}-(3m - n)^{2}$的值.
答案：12. 解: 原式 $=(m + 2n + 3m - n)(m + 2n - 3m + n) = (4m + n)(3n - 2m) = -(4m + n)(2m - 3n)$
当 $4m + n = 40$，$2m - 3n = 5$ 时，原式 $= - 40×5 = - 200$
当 $4m + n = 40$，$2m - 3n = 5$ 时，原式 $= - 40×5 = - 200$
13. (新定义)(2024·淮安月考)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：$4 = 2^{2}-0^{2}$，$12 = 4^{2}-2^{2}$，$20 = 6^{2}-4^{2}$，因此，$4$，$12$，$20$这三个数都是神秘数.
(1) $28$和$2012$这两个数是神秘数吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为$2k + 2$和$2k$（其中$k$取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是$4$的倍数吗？为什么？
(3)两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？
(1) $28$和$2012$这两个数是神秘数吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为$2k + 2$和$2k$（其中$k$取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是$4$的倍数吗？为什么？
(3)两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？
答案：13. 解: (1) $\because 28 = 8^{2} - 6^{2}$，$2012 = 504^{2} - 502^{2}$，$\therefore 28$ 和 $2012$ 是神秘数.
(2) $\because (2k + 2)^{2} - (2k)^{2} = (2k + 2 - 2k)(2k + 2 + 2k) = 4(2k + 1)$，$\therefore$ 由 $2k + 2$ 和 $2k$ 构造的神秘数是 $4$ 的倍数.
(3) 设两个连续奇数为 $2k + 1$ 和 $2k - 1$，则 $(2k + 1)^{2} - (2k - 1)^{2} = 8k$
由 (2) 可知神秘数是 $4$ 的奇数倍，不是偶数倍，$\therefore$ 两个连续奇数的平方差不是神秘数.
(2) $\because (2k + 2)^{2} - (2k)^{2} = (2k + 2 - 2k)(2k + 2 + 2k) = 4(2k + 1)$，$\therefore$ 由 $2k + 2$ 和 $2k$ 构造的神秘数是 $4$ 的倍数.
(3) 设两个连续奇数为 $2k + 1$ 和 $2k - 1$，则 $(2k + 1)^{2} - (2k - 1)^{2} = 8k$
由 (2) 可知神秘数是 $4$ 的奇数倍，不是偶数倍，$\therefore$ 两个连续奇数的平方差不是神秘数.