9. (2025·南充)已知$\frac{a}{bc} = \frac{b}{ac} = \frac{c}{ab} = 2$，则$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{abc}$的值是(
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$6$
D
)A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$6$
答案：9. D
解析：
由$\frac{a}{bc} = 2$，得$a = 2bc$；由$\frac{b}{ac} = 2$，得$b = 2ac$；由$\frac{c}{ab} = 2$，得$c = 2ab$。
将$a = 2bc$代入$b = 2ac$，得$b = 2(2bc)c = 4bc^2$，两边同除以$b$（$b ≠ 0$），得$1 = 4c^2$，$c^2 = \frac{1}{4}$，$c = \pm \frac{1}{2}$。
同理可得$a^2 = \frac{1}{4}$，$b^2 = \frac{1}{4}$，即$a = \pm \frac{1}{2}$，$b = \pm \frac{1}{2}$。
由$a = 2bc$，可知$a$、$b$、$c$同号，$abc = a · b · c = (\pm \frac{1}{2})^3 = \pm \frac{1}{8}$，$a^2 + b^2 + c^2 = 3 × \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$。
$\frac{a^2 + b^2 + c^2}{abc} = \frac{\frac{3}{4}}{\pm \frac{1}{8}} = \pm 6$，因$a$、$b$、$c$同号，$abc$为正，故结果为$6$。
D
将$a = 2bc$代入$b = 2ac$，得$b = 2(2bc)c = 4bc^2$，两边同除以$b$（$b ≠ 0$），得$1 = 4c^2$，$c^2 = \frac{1}{4}$，$c = \pm \frac{1}{2}$。
同理可得$a^2 = \frac{1}{4}$，$b^2 = \frac{1}{4}$，即$a = \pm \frac{1}{2}$，$b = \pm \frac{1}{2}$。
由$a = 2bc$，可知$a$、$b$、$c$同号，$abc = a · b · c = (\pm \frac{1}{2})^3 = \pm \frac{1}{8}$，$a^2 + b^2 + c^2 = 3 × \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$。
$\frac{a^2 + b^2 + c^2}{abc} = \frac{\frac{3}{4}}{\pm \frac{1}{8}} = \pm 6$，因$a$、$b$、$c$同号，$abc$为正，故结果为$6$。
D
10. (2024·淮安期末)下列分式中是最简分式的是(
A.$\frac{2x}{4x^{2}}$
B.$\frac{x^{2}+y^{2}}{x + y}$
C.$\frac{x^{2}+2x + 1}{x + 1}$
D.$\frac{x^{2}-4}{x + 2}$
B
)A.$\frac{2x}{4x^{2}}$
B.$\frac{x^{2}+y^{2}}{x + y}$
C.$\frac{x^{2}+2x + 1}{x + 1}$
D.$\frac{x^{2}-4}{x + 2}$
答案：10. B
解析：
A.$\frac{2x}{4x^{2}}=\frac{1}{2x}$，不是最简分式；
B.$\frac{x^{2}+y^{2}}{x + y}$，分子分母没有公因式，是最简分式；
C.$\frac{x^{2}+2x + 1}{x + 1}=\frac{(x+1)^{2}}{x+1}=x+1$，不是最简分式；
D.$\frac{x^{2}-4}{x + 2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x+2}=x-2$，不是最简分式。
答案：B
B.$\frac{x^{2}+y^{2}}{x + y}$，分子分母没有公因式，是最简分式；
C.$\frac{x^{2}+2x + 1}{x + 1}=\frac{(x+1)^{2}}{x+1}=x+1$，不是最简分式；
D.$\frac{x^{2}-4}{x + 2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x+2}=x-2$，不是最简分式。
答案：B
11. 若$m$为整数，则能使$\frac{2m - 2}{m^{2}-1}$也为整数的$m$的值有(
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
C
)A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
答案：11. C
解析：
$\frac{2m - 2}{m^2 - 1} = \frac{2(m - 1)}{(m - 1)(m + 1)} = \frac{2}{m + 1}$（$m ≠ \pm 1$），
要使$\frac{2}{m + 1}$为整数，$m + 1$是$2$的因数，
$m + 1 = \pm 1$或$\pm 2$，
当$m + 1 = 1$时，$m = 0$；
当$m + 1 = -1$时，$m = -2$；
当$m + 1 = 2$时，$m = 1$（舍去）；
当$m + 1 = -2$时，$m = -3$，
综上，$m = 0$，$-2$，$-3$，共$3$个，
C
要使$\frac{2}{m + 1}$为整数，$m + 1$是$2$的因数，
$m + 1 = \pm 1$或$\pm 2$，
当$m + 1 = 1$时，$m = 0$；
当$m + 1 = -1$时，$m = -2$；
当$m + 1 = 2$时，$m = 1$（舍去）；
当$m + 1 = -2$时，$m = -3$，
综上，$m = 0$，$-2$，$-3$，共$3$个，
C
12. 已知$a - b - 1 = 0$，则分式$\frac{3(a - 2b)+3b}{a^{2}-2ab + b^{2}}$的值是
3
。答案：12. 3
解析：
解：由$a - b - 1 = 0$，得$a - b = 1$。
$\begin{aligned}\frac{3(a - 2b) + 3b}{a^2 - 2ab + b^2}&=\frac{3a - 6b + 3b}{(a - b)^2}\\&=\frac{3a - 3b}{(a - b)^2}\\&=\frac{3(a - b)}{(a - b)^2}\\&=\frac{3}{a - b}\end{aligned}$
将$a - b = 1$代入上式，得$\frac{3}{1}=3$。
3
$\begin{aligned}\frac{3(a - 2b) + 3b}{a^2 - 2ab + b^2}&=\frac{3a - 6b + 3b}{(a - b)^2}\\&=\frac{3a - 3b}{(a - b)^2}\\&=\frac{3(a - b)}{(a - b)^2}\\&=\frac{3}{a - b}\end{aligned}$
将$a - b = 1$代入上式，得$\frac{3}{1}=3$。
3
13. 若$a ＞ b ＞ 0$，$a^{2}+b^{2}-6ab = 0$，则$(\frac{a + b}{a - b})^{2} =$
2
。答案：13. 2
解析：
解：由$a^{2}+b^{2}-6ab = 0$，得$a^{2}+b^{2}=6ab$。
$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}=6ab + 2ab=8ab$，$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}=6ab - 2ab=4ab$。
$(\frac{a + b}{a - b})^{2}=\frac{(a + b)^{2}}{(a - b)^{2}}=\frac{8ab}{4ab}=2$。
2
$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}=6ab + 2ab=8ab$，$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}=6ab - 2ab=4ab$。
$(\frac{a + b}{a - b})^{2}=\frac{(a + b)^{2}}{(a - b)^{2}}=\frac{8ab}{4ab}=2$。
2
14. 将下列各式约分：
（1）$\frac{9ab^{2}+6abc}{3a^{2}b}$；
（2）$\frac{9a^{2}+6ab + b^{2}}{3a + b}$；
（3）$\frac{x^{2}-36}{2x + 12}$；
（4）$\frac{m^{2}-2m + 1}{1 - m^{2}}$；
（5）$\frac{x^{2}-2xy}{x^{3}-4x^{2}y + 4xy^{2}}$；
（6）$\frac{a^{2}-4ab + 4b^{2}}{a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}}$。
（1）$\frac{9ab^{2}+6abc}{3a^{2}b}$；
（2）$\frac{9a^{2}+6ab + b^{2}}{3a + b}$；
（3）$\frac{x^{2}-36}{2x + 12}$；
（4）$\frac{m^{2}-2m + 1}{1 - m^{2}}$；
（5）$\frac{x^{2}-2xy}{x^{3}-4x^{2}y + 4xy^{2}}$；
（6）$\frac{a^{2}-4ab + 4b^{2}}{a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}}$。
答案：14. 解：(1) 原式 $ =\frac{3ab(3b + 2c)}{3a^{2}b}=\frac{3b + 2c}{a} $。
(2) 原式 $ =\frac{(3a + b)^{2}}{3a + b}=3a + b $。
(3) 原式 $ =\frac{(x + 6)(x - 6)}{2(x + 6)}=\frac{x - 6}{2} $。
(4) 原式 $ =\frac{(1 - m)^{2}}{(1 - m)(1 + m)}=\frac{1 - m}{1 + m} $。
(5) 原式 $ =\frac{x(x - 2y)}{x(x - 2y)^{2}}=\frac{1}{x - 2y} $。
(6) 原式 $ =\frac{(a - 2b)^{2}}{(a + 2b)^{2}(a - 2b)^{2}}=\frac{1}{(a + 2b)^{2}} $。
(2) 原式 $ =\frac{(3a + b)^{2}}{3a + b}=3a + b $。
(3) 原式 $ =\frac{(x + 6)(x - 6)}{2(x + 6)}=\frac{x - 6}{2} $。
(4) 原式 $ =\frac{(1 - m)^{2}}{(1 - m)(1 + m)}=\frac{1 - m}{1 + m} $。
(5) 原式 $ =\frac{x(x - 2y)}{x(x - 2y)^{2}}=\frac{1}{x - 2y} $。
(6) 原式 $ =\frac{(a - 2b)^{2}}{(a + 2b)^{2}(a - 2b)^{2}}=\frac{1}{(a + 2b)^{2}} $。
15. 问题：当$a$为何值时，分式$\frac{a^{2}+6a + 9}{a^{2}-9}$无意义？
小明是这样解答的：
解：因为$\frac{a^{2}+6a + 9}{a^{2}-9} = \frac{(a + 3)^{2}}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{a + 3}{a - 3}$，由$a - 3 = 0$，得$a = 3$，所以当$a = 3$时，分式无意义。
你认为小明的解答正确吗？如果不正确，请说明错误的原因。
小明是这样解答的：
解：因为$\frac{a^{2}+6a + 9}{a^{2}-9} = \frac{(a + 3)^{2}}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{a + 3}{a - 3}$，由$a - 3 = 0$，得$a = 3$，所以当$a = 3$时，分式无意义。
你认为小明的解答正确吗？如果不正确，请说明错误的原因。
答案：15. 解：不正确。原因：使分式无意义的条件是原分式的分母等于 0，而不是化简后的分式的分母等于 0。
解析：
15. 解：不正确。原因：使分式无意义的条件是原分式的分母等于0，而不是化简后的分式的分母等于0。原分式分母为$a^2 - 9$，由$a^2 - 9 = 0$，得$a = 3$或$a = -3$，所以当$a = 3$或$a = -3$时，分式无意义。