1. 如图,在四边形 ABCD 中,AB=CD,M,N,P 分别是 AD,BC,BD 的中点,∠ABD=40°,∠BDC=70°,求∠PMN 的度数.
答案：1. 解:
∵在四边形ABCD中,M,N,P分别是AD,BC,BD的中点，
∴PN,PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM=$\frac{1}{2}$AB,PN=$\frac{1}{2}$DC,PM//AB,PN//DC,
∴∠MPD=∠ABD=40°,
∠DPN=180°−∠BDC=110°.
∵AB=CD,
∴PM=PN,
∴△PMN是等腰三角形,
∴∠PMN=∠PNM.
∵∠MPN=∠MPD+∠NPD=40°+110°=150°,
∴∠PMN=$\frac{180°−150°}{2}$=15°.
∵在四边形ABCD中,M,N,P分别是AD,BC,BD的中点，
∴PN,PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM=$\frac{1}{2}$AB,PN=$\frac{1}{2}$DC,PM//AB,PN//DC,
∴∠MPD=∠ABD=40°,
∠DPN=180°−∠BDC=110°.
∵AB=CD,
∴PM=PN,
∴△PMN是等腰三角形,
∴∠PMN=∠PNM.
∵∠MPN=∠MPD+∠NPD=40°+110°=150°,
∴∠PMN=$\frac{180°−150°}{2}$=15°.
2. 如图,在△ABC 中,D 为 AC 上一点,AB=CD,F 是 AD 的中点,M 为 BC 的中点,连接 MF 并延长交 BA 的延长线于点 E,G 为 EF 的中点,连接 AG. 求证:AG⊥ME.
答案：
2. 证明:如答图，连接BD,取BD的中点O,连接FO,MO.
∵F是AD的中点，M为BC的中点，
∴MO是△BCD的中位线,FO是△ABD的中位线，
∴MO=$\frac{1}{2}$CD,FO=$\frac{1}{2}$AB,MO//AC,OF//AB.
∵AB=CD,
∴MO=FO,
∴∠OFM=∠OMF;
∵OF//AB,
∴∠OFM=∠AEF.
∵OM//AC,
∴∠OMF=∠CFM=∠AFE,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF.
∵G为EF的中点，
∴AG⊥ME;
2. 证明:如答图，连接BD,取BD的中点O,连接FO,MO.
∵F是AD的中点，M为BC的中点，
∴MO是△BCD的中位线,FO是△ABD的中位线，
∴MO=$\frac{1}{2}$CD,FO=$\frac{1}{2}$AB,MO//AC,OF//AB.
∵AB=CD,
∴MO=FO,
∴∠OFM=∠OMF;
∵OF//AB,
∴∠OFM=∠AEF.
∵OM//AC,
∴∠OMF=∠CFM=∠AFE,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF.
∵G为EF的中点，
∴AG⊥ME;