1. 如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在 AC,AB 上,连接 BD,CE 交于点 P,且 BD=CE,M,N 分别是 BE,CD 的中点,MN 分别交 BD,CE 于点 G,H,求证:PG=PH.
答案：
证明:如答图，取BC的中点Q，连接MQ，NQ
∵M是BE的中点，
∴MQ//EC，MQ=$\frac{1}{2}$EC，
∴∠QMN=∠PHG.
∵N是CD的中点，
∴NQ//BD，QN=$\frac{1}{2}$BD，
∴∠MNQ=∠PGH.
∵BD=CE，
∴MQ=NQ，
∴∠MNQ=∠NMQ，
∴∠PGH=∠PHG，
∴PG=PH.
证明:如答图，取BC的中点Q，连接MQ，NQ
∵M是BE的中点，
∴MQ//EC，MQ=$\frac{1}{2}$EC，
∴∠QMN=∠PHG.
∵N是CD的中点，
∴NQ//BD，QN=$\frac{1}{2}$BD，
∴∠MNQ=∠PGH.
∵BD=CE，
∴MQ=NQ，
∴∠MNQ=∠NMQ，
∴∠PGH=∠PHG，
∴PG=PH.
2. (2024·盐城盐都期中)如图,在四边形 ABCD 中,AB=CD,E,F,G,H 分别为 AD,BC,BD,AC 的中点,顺次连接点 E,G,F,H.
(1)求证:四边形 EGFH 是菱形;
(2)当∠ABC 与∠DCB 满足什么关系时,四边形 EGFH 为正方形? 请说明理由.
(1)求证:四边形 EGFH 是菱形;
(2)当∠ABC 与∠DCB 满足什么关系时,四边形 EGFH 为正方形? 请说明理由.
答案：(1)证明:
∵E，F，G，H分别为AD，BC，BD，AC的中点，
∴EG=$\frac{1}{2}$AB，EH=$\frac{1}{2}$CD，HF=$\frac{1}{2}$AB，EG//AB，HF//AB，
∴EG=HF，EG//HF，
∴四边形EGFH是平行四边形.
∵AB=CD，
∴EG=EH，
∴四边形EGFH是菱形.
(2)解:当∠ABC+∠DCB=90°时，四边形EGFH为正方形，
理由:
∵GF//CD，HF//AB，
∴∠ABC=∠HFC，∠DCB=∠GFB.
∵∠ABC+∠DCB=90°，
∴∠HFC+∠GFB=90°，
∴∠GFH=90°，
∴菱形EGFH是正方形.
∵E，F，G，H分别为AD，BC，BD，AC的中点，
∴EG=$\frac{1}{2}$AB，EH=$\frac{1}{2}$CD，HF=$\frac{1}{2}$AB，EG//AB，HF//AB，
∴EG=HF，EG//HF，
∴四边形EGFH是平行四边形.
∵AB=CD，
∴EG=EH，
∴四边形EGFH是菱形.
(2)解:当∠ABC+∠DCB=90°时，四边形EGFH为正方形，
理由:
∵GF//CD，HF//AB，
∴∠ABC=∠HFC，∠DCB=∠GFB.
∵∠ABC+∠DCB=90°，
∴∠HFC+∠GFB=90°，
∴∠GFH=90°，
∴菱形EGFH是正方形.