1. 如图，小明家的住房平面图是矩形，被分割成 3 个正方形和 2 个矩形后仍是中心对称图形。若只知道原住房平面图矩形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为
①②
。答案：1.①②
2. 如图，正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，以 $AB$ 为边作 $Rt△ ABE$，且 $∠ AEB = 90^{\circ}$，将 $△ ABE$ 绕点 $O$ 旋转 $180^{\circ}$ 得到 $△ CDF$。
(1) 在图中画出 $△ CDF$，并简要说明作图过程；
(2) 若 $AE = 12$，$AB = 13$，求 $EF$ 的长。
(1) 在图中画出 $△ CDF$，并简要说明作图过程；
(2) 若 $AE = 12$，$AB = 13$，求 $EF$ 的长。
答案：
2.解:(1)如答图，连接EO并延长到点F,使OF=OE,连接DF,CF,得到△CDF.
(2)如答图，过点O作OG⊥OE,与EB的延长线交于点G.
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA = OB，∠AOB = ∠EOG = 90°，
∴∠AOE = ∠BOG。
在四边形AEBO中，∠AEB = ∠AOB = 90°，
∴∠EAO + ∠EBO = 180° = ∠EBO + ∠GBO，
∴∠GBO = ∠EAO。
在△EAO和△GBO中，{∠EAO = ∠GBO，OA = OB，∠AOE = ∠BOG}
∴△EAO ≌ △GBO(ASA)，
∴AE = BG，OE = OG，
∴△GOE为等腰直角三角形，
∴OE = $\frac{\sqrt{2}}{2}$EG = $\frac{\sqrt{2}}{2}$(EB + BG) = $\frac{\sqrt{2}}{2}$(EB + AE)。
∵AE = 12，AB = 13，
∴BE = 5，
∴EB + AE = 17，
∴OE = $\frac{17\sqrt{2}}{2}$，
∴EF = 17$\sqrt{2}$。
2.解:(1)如答图，连接EO并延长到点F,使OF=OE,连接DF,CF,得到△CDF.
(2)如答图，过点O作OG⊥OE,与EB的延长线交于点G.
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA = OB，∠AOB = ∠EOG = 90°，
∴∠AOE = ∠BOG。
在四边形AEBO中，∠AEB = ∠AOB = 90°，
∴∠EAO + ∠EBO = 180° = ∠EBO + ∠GBO，
∴∠GBO = ∠EAO。
在△EAO和△GBO中，{∠EAO = ∠GBO，OA = OB，∠AOE = ∠BOG}
∴△EAO ≌ △GBO(ASA)，
∴AE = BG，OE = OG，
∴△GOE为等腰直角三角形，
∴OE = $\frac{\sqrt{2}}{2}$EG = $\frac{\sqrt{2}}{2}$(EB + BG) = $\frac{\sqrt{2}}{2}$(EB + AE)。
∵AE = 12，AB = 13，
∴BE = 5，
∴EB + AE = 17，
∴OE = $\frac{17\sqrt{2}}{2}$，
∴EF = 17$\sqrt{2}$。
3. 如图，在平面直角坐标系中，$A$，$B$ 为 $x$ 轴上的两点，以 $AB$ 为边作矩形 $ABCD$，且点 $A$，$C$ 的坐标分别为 $(-8,0)$，$(-2,4)$，现将矩形 $ABCD$ 向右平移 $4$ 个单位长度后，再向上平移 $\frac{a}{2}$ 个单位长度得到矩形 $EFGH$。
(1) 若 $a = 4$，请求出点 $H$ 的坐标；
(2) 若矩形 $ABCD$ 与矩形 $EFGH$ 关于点 $P$ 成中心对称，且点 $P$ 的坐标为 $(-3,m)$，求 $m$ 的值。(用含 $a$ 的式子表示)
(1) 若 $a = 4$，请求出点 $H$ 的坐标；
(2) 若矩形 $ABCD$ 与矩形 $EFGH$ 关于点 $P$ 成中心对称，且点 $P$ 的坐标为 $(-3,m)$，求 $m$ 的值。(用含 $a$ 的式子表示)
答案：
3.解:(1)
∵a = 4，
∴$\frac{a}{2}$ = 2。
∵点A(-8,0)向右平移4个单位长度后，再向上平移2个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为(-4,2)。
∵点C(-2,4)向右平移4个单位长度后，再向上平移2个单位长度得到点G，
∴点G的坐标为(2,6)，
∴点H的坐标为(-4,6)。
(2)连接AG，DF交于点P，如答图。
由题意，得G(2,4 + $\frac{a}{2}$)，又A(-8,0)，
∴AG的中点P的坐标为(-3,2 + $\frac{a}{4}$)。
∵点P的坐标为(-3,m)，
∴m = 2 + $\frac{a}{4}$。
3.解:(1)
∵a = 4，
∴$\frac{a}{2}$ = 2。
∵点A(-8,0)向右平移4个单位长度后，再向上平移2个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为(-4,2)。
∵点C(-2,4)向右平移4个单位长度后，再向上平移2个单位长度得到点G，
∴点G的坐标为(2,6)，
∴点H的坐标为(-4,6)。
(2)连接AG，DF交于点P，如答图。
由题意，得G(2,4 + $\frac{a}{2}$)，又A(-8,0)，
∴AG的中点P的坐标为(-3,2 + $\frac{a}{4}$)。
∵点P的坐标为(-3,m)，
∴m = 2 + $\frac{a}{4}$。