1. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$AB = 1$，$∠ A = 60^{\circ}$，顺次连接菱形 $ABCD$ 各边的中点，可得四边形 $A_1B_1C_1D_1$；顺次连接四边形 $A_1B_1C_1D_1$ 各边的中点，可得四边形 $A_2B_2C_2D_2$；顺次连接四边形 $A_2B_2C_2D_2$ 各边的中点，可得四边形 $A_3B_3C_3D_3$；$···$，按此规律继续下去，则四边形 $A_{2025}B_{2025}C_{2025}D_{2025}$ 的面积是
$\frac{\sqrt{3}}{2^{2026}}$
.答案：1. $\frac{\sqrt{3}}{2^{2026}}$
解析：
解：在菱形 $ABCD$ 中，$AB = 1$，$∠ A = 60°$，其面积 $S_0 = AB^2 · \sin 60° = 1^2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
顺次连接各边中点所得新四边形面积为原四边形面积的$\frac{1}{2}$，即$S_n = \frac{1}{2}S_{n-1}$。
由此可得规律：$S_n = S_0 × (\frac{1}{2})^n = \frac{\sqrt{3}}{2} × (\frac{1}{2})^n = \frac{\sqrt{3}}{2^{n+1}}$。
当$n = 2025$时，$S_{2025} = \frac{\sqrt{3}}{2^{2025 + 1}} = \frac{\sqrt{3}}{2^{2026}}$。
$\frac{\sqrt{3}}{2^{2026}}$
顺次连接各边中点所得新四边形面积为原四边形面积的$\frac{1}{2}$，即$S_n = \frac{1}{2}S_{n-1}$。
由此可得规律：$S_n = S_0 × (\frac{1}{2})^n = \frac{\sqrt{3}}{2} × (\frac{1}{2})^n = \frac{\sqrt{3}}{2^{n+1}}$。
当$n = 2025$时，$S_{2025} = \frac{\sqrt{3}}{2^{2025 + 1}} = \frac{\sqrt{3}}{2^{2026}}$。
$\frac{\sqrt{3}}{2^{2026}}$
2. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别是 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$ 的中点，四边形 $EFGH$ 的周长等于 $8$，则矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 的长为
4
.答案：2. 4
解析：
证明：连接AC，BD。
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，EF是△ABC的中位线，HG是△ADC的中位线。
∴EH = FG = $\frac{1}{2}$BD，EF = HG = $\frac{1}{2}$AC。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC = BD。
∴EH = FG = EF = HG。
∴四边形EFGH是菱形。
∵四边形EFGH的周长等于8，
∴4EF = 8，解得EF = 2。
∴AC = 2EF = 4。
故矩形ABCD的对角线AC的长为4。
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，EF是△ABC的中位线，HG是△ADC的中位线。
∴EH = FG = $\frac{1}{2}$BD，EF = HG = $\frac{1}{2}$AC。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC = BD。
∴EH = FG = EF = HG。
∴四边形EFGH是菱形。
∵四边形EFGH的周长等于8，
∴4EF = 8，解得EF = 2。
∴AC = 2EF = 4。
故矩形ABCD的对角线AC的长为4。
3. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AC⊥ BD$，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别为 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$ 的中点，判断 $EG$ 与 $FH$ 的数量关系并加以证明.
答案：
3. 解：$EG = FH$.
证明：连接 $EF$，$FG$，$GH$，$HE$，如答图.
$\because E$，$F$ 分别为 $AB$，$BC$ 的中点，$\therefore EF=\frac{1}{2}AC$，$EF// AC$.
$\because G$，$H$ 分别为 $CD$，$DA$ 的中点，
$\therefore HG=\frac{1}{2}AC$，$HG// AC$，
$\therefore EF = HG$，$EF// HG$，$\therefore$ 四边形 $EFGH$ 为平行四边形.
$\because EF// AC$，$AC⊥ BD$，$\therefore EF⊥ BD$.
$\because F$，$G$ 分别为 $BC$，$CD$ 的中点，
$\therefore FG// BD$，$\therefore EF⊥ FG$，
$\therefore$ 平行四边形 $EFGH$ 为矩形，$\therefore EG = FH$.
3. 解：$EG = FH$.
证明：连接 $EF$，$FG$，$GH$，$HE$，如答图.
$\because E$，$F$ 分别为 $AB$，$BC$ 的中点，$\therefore EF=\frac{1}{2}AC$，$EF// AC$.
$\because G$，$H$ 分别为 $CD$，$DA$ 的中点，
$\therefore HG=\frac{1}{2}AC$，$HG// AC$，
$\therefore EF = HG$，$EF// HG$，$\therefore$ 四边形 $EFGH$ 为平行四边形.
$\because EF// AC$，$AC⊥ BD$，$\therefore EF⊥ BD$.
$\because F$，$G$ 分别为 $BC$，$CD$ 的中点，
$\therefore FG// BD$，$\therefore EF⊥ FG$，
$\therefore$ 平行四边形 $EFGH$ 为矩形，$\therefore EG = FH$.