1. 已知 $x＞0$，且 $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2(x+\frac{1}{x})-1=0$，则 $(x-\frac{1}{x})^{2}$ 的值为
5
.答案：1. 5
解析：
设$ t = x + \frac{1}{x} $，因为$ x ＞ 0 $，所以$ t = x + \frac{1}{x} ≥ 2\sqrt{x · \frac{1}{x}} = 2 $。
已知$ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2(x + \frac{1}{x}) - 1 = 0 $，而$ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = t^{2} - 2 $，代入方程得：
$ t^{2} - 2 - 2t - 1 = 0 $
化简得$ t^{2} - 2t - 3 = 0 $
因式分解得$(t - 3)(t + 1) = 0$，解得$ t = 3 $或$ t = -1 $。
因为$ t ≥ 2 $，所以$ t = 3 $，即$ x + \frac{1}{x} = 3 $。
$(x - \frac{1}{x})^{2} = x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}} = (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) - 2 = (t^{2} - 2) - 2 = t^{2} - 4$
将$ t = 3 $代入得$ 3^{2} - 4 = 9 - 4 = 5 $
5
已知$ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2(x + \frac{1}{x}) - 1 = 0 $，而$ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = t^{2} - 2 $，代入方程得：
$ t^{2} - 2 - 2t - 1 = 0 $
化简得$ t^{2} - 2t - 3 = 0 $
因式分解得$(t - 3)(t + 1) = 0$，解得$ t = 3 $或$ t = -1 $。
因为$ t ≥ 2 $，所以$ t = 3 $，即$ x + \frac{1}{x} = 3 $。
$(x - \frac{1}{x})^{2} = x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}} = (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) - 2 = (t^{2} - 2) - 2 = t^{2} - 4$
将$ t = 3 $代入得$ 3^{2} - 4 = 9 - 4 = 5 $
5
2. 已知 $a^{2}-3a+1=0$，求下列各式的值：
(1)$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$；
(2)$a-\frac{1}{a}$；
(3)$a^{4}+\frac{1}{a^{4}}$.
(1)$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$；
(2)$a-\frac{1}{a}$；
(3)$a^{4}+\frac{1}{a^{4}}$.
答案：2. 解：由 $a^{2}-3a + 1 = 0$，得 $a+\dfrac{1}{a}=3$．
(1) $a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}=(a+\dfrac{1}{a})^{2}-2 = 7$．
(2) $(a-\dfrac{1}{a})^{2}=(a+\dfrac{1}{a})^{2}-4 = 5$，$\therefore a-\dfrac{1}{a}=\pm \sqrt{5}$．
(3) $a^{4}+\dfrac{1}{a^{4}}=(a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}})^{2}-2 = 47$．
(1) $a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}=(a+\dfrac{1}{a})^{2}-2 = 7$．
(2) $(a-\dfrac{1}{a})^{2}=(a+\dfrac{1}{a})^{2}-4 = 5$，$\therefore a-\dfrac{1}{a}=\pm \sqrt{5}$．
(3) $a^{4}+\dfrac{1}{a^{4}}=(a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}})^{2}-2 = 47$．
3. 阅读例题，并解答问题.
【例】
已知实数 $x$ 满足 $x+\frac{1}{x}=4$，求分式 $\frac{x}{x^{2}+3x+1}$ 的值.
解：观察所求式子的特征，因为 $x≠ 0$，我们可以先求出 $\frac{x}{x^{2}+3x+1}$ 的倒数的值，
因为 $\frac{x^{2}+3x+1}{x}=x+3+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}+3=4+3=7$，
所以 $\frac{x}{x^{2}+3x+1}=\frac{1}{7}$.
【活学活用】
(1)已知实数 $a$ 满足 $a+\frac{1}{a}=-5$，求分式 $\frac{3a^{2}+5a+3}{a}$ 的值；
(2)已知实数 $x$ 满足 $x+\frac{1}{x+1}=9$，求分式 $\frac{x+1}{x^{2}+5x+5}$ 的值.
【例】
已知实数 $x$ 满足 $x+\frac{1}{x}=4$，求分式 $\frac{x}{x^{2}+3x+1}$ 的值.
解：观察所求式子的特征，因为 $x≠ 0$，我们可以先求出 $\frac{x}{x^{2}+3x+1}$ 的倒数的值，
因为 $\frac{x^{2}+3x+1}{x}=x+3+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}+3=4+3=7$，
所以 $\frac{x}{x^{2}+3x+1}=\frac{1}{7}$.
【活学活用】
(1)已知实数 $a$ 满足 $a+\frac{1}{a}=-5$，求分式 $\frac{3a^{2}+5a+3}{a}$ 的值；
(2)已知实数 $x$ 满足 $x+\frac{1}{x+1}=9$，求分式 $\frac{x+1}{x^{2}+5x+5}$ 的值.
答案：3. 解：(1) $\because a+\dfrac{1}{a}=-5$，
$\therefore \dfrac{3a^{2}+5a + 3}{a}=3a + 5+\dfrac{3}{a}=3(a+\dfrac{1}{a})+5=-15 + 5=-10$．
(2) $\because x+\dfrac{1}{x + 1}=9$，$\therefore x + 1≠ 0$，即 $x≠ -1$，
$\therefore x + 1+\dfrac{1}{x + 1}=10$．
$\because \dfrac{x^{2}+5x + 5}{x + 1}=\dfrac{(x + 1)^{2}+3(x + 1)+1}{x + 1}=x + 1+\dfrac{1}{x + 1}+3=10 + 3 = 13$，
$\therefore \dfrac{x + 1}{x^{2}+5x + 5}=\dfrac{1}{13}$．
$\therefore \dfrac{3a^{2}+5a + 3}{a}=3a + 5+\dfrac{3}{a}=3(a+\dfrac{1}{a})+5=-15 + 5=-10$．
(2) $\because x+\dfrac{1}{x + 1}=9$，$\therefore x + 1≠ 0$，即 $x≠ -1$，
$\therefore x + 1+\dfrac{1}{x + 1}=10$．
$\because \dfrac{x^{2}+5x + 5}{x + 1}=\dfrac{(x + 1)^{2}+3(x + 1)+1}{x + 1}=x + 1+\dfrac{1}{x + 1}+3=10 + 3 = 13$，
$\therefore \dfrac{x + 1}{x^{2}+5x + 5}=\dfrac{1}{13}$．