1. 对于正数 $ x $，规定 $ f(x)=\frac{2x}{x + 1} $，例如：$ f(2)=\frac{2×2}{2 + 1}=\frac{4}{3} $，$ f(\frac{1}{2})=\frac{2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3} $，$ f(3)=\frac{2×3}{3 + 1}=\frac{3}{2} $，$ f(\frac{1}{3})=\frac{2×\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+1}=\frac{1}{2} $，计算：$ f(\frac{1}{101})+f(\frac{1}{100})+f(\frac{1}{99})+··· +f(\frac{1}{3})+f(\frac{1}{2})+f(1)+f(2)+f(3)+··· +f(99)+f(100)+f(101)= $(
A.199
B.200
C.201
D.202
C
)A.199
B.200
C.201
D.202
答案：1. C
解析：
$f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{2x}{x+1}+\frac{2×\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+1}=\frac{2x}{x+1}+\frac{2}{x+1}=\frac{2(x+1)}{x+1}=2$
原式中$f(1)=\frac{2×1}{1+1}=1$，从$f(\frac{1}{101})$与$f(101)$到$f(\frac{1}{2})$与$f(2)$共有100对，每对和为2，再加上$f(1)$。
所以总和为$100×2 + 1=201$
C
原式中$f(1)=\frac{2×1}{1+1}=1$，从$f(\frac{1}{101})$与$f(101)$到$f(\frac{1}{2})$与$f(2)$共有100对，每对和为2，再加上$f(1)$。
所以总和为$100×2 + 1=201$
C
2. 阅读下列材料，然后解答问题.
已知 $ a＞0 $，$ S_1=\frac{1}{a} $，$ S_2=-S_1 - 1 $，$ S_3=\frac{1}{S_2} $，$ S_4=-S_3 - 1 $，$ S_5=\frac{1}{S_4} $，$···$. 当 $ n $ 为大于 1 的奇数时，$ S_n=\frac{1}{S_{n - 1}} $；当 $ n $ 为大于 1 的偶数时，$ S_n=-S_{n - 1}-1 $.
(1)求 $ S_3 $；(用含 $ a $ 的代数式表示)
(2)直接写出 $ S_{2026}= $
(3)计算：$ S_1 + S_2 + S_3 + ··· + S_{2026} $.
已知 $ a＞0 $，$ S_1=\frac{1}{a} $，$ S_2=-S_1 - 1 $，$ S_3=\frac{1}{S_2} $，$ S_4=-S_3 - 1 $，$ S_5=\frac{1}{S_4} $，$···$. 当 $ n $ 为大于 1 的奇数时，$ S_n=\frac{1}{S_{n - 1}} $；当 $ n $ 为大于 1 的偶数时，$ S_n=-S_{n - 1}-1 $.
(1)求 $ S_3 $；(用含 $ a $ 的代数式表示)
(2)直接写出 $ S_{2026}= $
$ -\frac{1}{a+1} $
；(用含 $ a $ 的代数式表示)(3)计算：$ S_1 + S_2 + S_3 + ··· + S_{2026} $.
答案：2. (1)解:
∵ $ S_{1}=\frac{1}{a} $，
∴ $ S_{2}=-S_{1}-1=-\frac{1}{a}-1=-\frac{a+1}{a} $，
∴ $ S_{3}=\frac{1}{S_{2}}=-\frac{a}{a+1} $。
(2) $ -\frac{1}{a+1} $
(3)解:
∵ $ S_{1}=\frac{1}{a} $，
∴ $ S_{2}=-S_{1}-1=-\frac{1}{a}-1=-\frac{a+1}{a} $，
∴ $ S_{3}=\frac{1}{S_{2}}=-\frac{a}{a+1} $，
∴ $ S_{4}=-S_{3}-1=\frac{a}{a+1}-1=\frac{a-a-1}{a+1}=-\frac{1}{a+1} $，
∴ $ S_{5}=\frac{1}{S_{4}}=-(a+1) $，
∴ $ S_{6}=-S_{5}-1=a+1-1=a $，
∴ $ S_{7}=\frac{1}{S_{6}}=\frac{1}{a} $……
∴ $ S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}+S_{5}+S_{6}=\frac{1}{a}+(-\frac{a+1}{a})+(-\frac{a}{a+1})+(-\frac{1}{a+1})+[-(a+1)]+a=-3 $。
∵ $ 2026 ÷ 6=337 ··· ··· 4 $，
∴ $ S_{1}+S_{2}+S_{3}+···+S_{2026}=(-3) × 337+(-2)=-1013 $。
∵ $ S_{1}=\frac{1}{a} $，
∴ $ S_{2}=-S_{1}-1=-\frac{1}{a}-1=-\frac{a+1}{a} $，
∴ $ S_{3}=\frac{1}{S_{2}}=-\frac{a}{a+1} $。
(2) $ -\frac{1}{a+1} $
(3)解:
∵ $ S_{1}=\frac{1}{a} $，
∴ $ S_{2}=-S_{1}-1=-\frac{1}{a}-1=-\frac{a+1}{a} $，
∴ $ S_{3}=\frac{1}{S_{2}}=-\frac{a}{a+1} $，
∴ $ S_{4}=-S_{3}-1=\frac{a}{a+1}-1=\frac{a-a-1}{a+1}=-\frac{1}{a+1} $，
∴ $ S_{5}=\frac{1}{S_{4}}=-(a+1) $，
∴ $ S_{6}=-S_{5}-1=a+1-1=a $，
∴ $ S_{7}=\frac{1}{S_{6}}=\frac{1}{a} $……
∴ $ S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}+S_{5}+S_{6}=\frac{1}{a}+(-\frac{a+1}{a})+(-\frac{a}{a+1})+(-\frac{1}{a+1})+[-(a+1)]+a=-3 $。
∵ $ 2026 ÷ 6=337 ··· ··· 4 $，
∴ $ S_{1}+S_{2}+S_{3}+···+S_{2026}=(-3) × 337+(-2)=-1013 $。
3. 阅读两位同学的探究交流活动过程：
a. 小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明.
$\frac{x + 2}{x + 3}-\frac{x + 1}{x + 2}=\frac{1}{x + 2}-\frac{1}{x + 3}$. ①
b. 小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式：
$\frac{x + 3}{x + 4}-\frac{x + 2}{x + 3}=\frac{1}{x + 3}-\frac{1}{x + 4}$；② $\frac{x + 4}{x + 5}-\frac{x + 3}{x + 4}=\frac{1}{x + 4}-\frac{1}{x + 5}$；③
$\frac{x + 5}{x + 6}-\frac{x + 4}{x + 5}=\frac{1}{x + 5}-\frac{1}{x + 6}$. ④
c. 小明邀请同学小亮根据上述规律写出第⑤个等式和第ⓝ个等式(用含 $ n $ 的式子表示，$ n $ 为正整数).
d. 小亮对第ⓝ个等式进行了证明.
解答下列问题：
(1)第⑤个等式是
(2)第ⓝ个等式是
(3)请你证明第ⓝ个等式成立.
a. 小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明.
$\frac{x + 2}{x + 3}-\frac{x + 1}{x + 2}=\frac{1}{x + 2}-\frac{1}{x + 3}$. ①
b. 小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式：
$\frac{x + 3}{x + 4}-\frac{x + 2}{x + 3}=\frac{1}{x + 3}-\frac{1}{x + 4}$；② $\frac{x + 4}{x + 5}-\frac{x + 3}{x + 4}=\frac{1}{x + 4}-\frac{1}{x + 5}$；③
$\frac{x + 5}{x + 6}-\frac{x + 4}{x + 5}=\frac{1}{x + 5}-\frac{1}{x + 6}$. ④
c. 小明邀请同学小亮根据上述规律写出第⑤个等式和第ⓝ个等式(用含 $ n $ 的式子表示，$ n $ 为正整数).
d. 小亮对第ⓝ个等式进行了证明.
解答下列问题：
(1)第⑤个等式是
$ \frac{x+6}{x+7}-\frac{x+5}{x+6}=\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7} $
；(2)第ⓝ个等式是
$ \frac{x+n+1}{x+n+2}-\frac{x+n}{x+n+1}=\frac{1}{x+n+1}-\frac{1}{x+n+2} $
；(3)请你证明第ⓝ个等式成立.
答案：3. (1) $ \frac{x+6}{x+7}-\frac{x+5}{x+6}=\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7} $
(2) $ \frac{x+n+1}{x+n+2}-\frac{x+n}{x+n+1}=\frac{1}{x+n+1}-\frac{1}{x+n+2} $
(3)证明: $ \frac{x+n+1}{x+n+2}-\frac{x+n}{x+n+1} $
$ =\frac{(x+n+2)-1}{x+n+2}-\frac{(x+n+1)-1}{x+n+1} $
$ =1-\frac{1}{x+n+2}-(1-\frac{1}{x+n+1}) $
$ =1-\frac{1}{x+n+2}-1+\frac{1}{x+n+1} $
$ =\frac{1}{x+n+1}-\frac{1}{x+n+2} $，
即 $ \frac{x+n+1}{x+n+2}-\frac{x+n}{x+n+1}=\frac{1}{x+n+1}-\frac{1}{x+n+2} $。
(2) $ \frac{x+n+1}{x+n+2}-\frac{x+n}{x+n+1}=\frac{1}{x+n+1}-\frac{1}{x+n+2} $
(3)证明: $ \frac{x+n+1}{x+n+2}-\frac{x+n}{x+n+1} $
$ =\frac{(x+n+2)-1}{x+n+2}-\frac{(x+n+1)-1}{x+n+1} $
$ =1-\frac{1}{x+n+2}-(1-\frac{1}{x+n+1}) $
$ =1-\frac{1}{x+n+2}-1+\frac{1}{x+n+1} $
$ =\frac{1}{x+n+1}-\frac{1}{x+n+2} $，
即 $ \frac{x+n+1}{x+n+2}-\frac{x+n}{x+n+1}=\frac{1}{x+n+1}-\frac{1}{x+n+2} $。