1. 如图，四边形ABCD是平行四边形，DE//BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接DF，BE.
求证：(1)AE=CF；
(2)∠DFE=∠BEF.
求证：(1)AE=CF；
(2)∠DFE=∠BEF.
答案：1.证明:(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AD=BC,
∴∠DAC=∠BCA.
∵DE//BF,
∴∠DEF=∠BFE,
∴∠AED=∠CFB.
在△ADE和△CBF中,$\{\begin{array}{l} ∠ DAE=∠ BCF,\\ ∠ AED=∠ CFB,\\ AD=CB,\end{array} $
∴△ADE≌△CBF(AAS),
∴AE=CF;
(2)
∵△ADE≌△CBF,
∴DE=FB.
又
∵DE//BF,
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴DF//EB,
∴∠DFE=∠BEF;
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AD=BC,
∴∠DAC=∠BCA.
∵DE//BF,
∴∠DEF=∠BFE,
∴∠AED=∠CFB.
在△ADE和△CBF中,$\{\begin{array}{l} ∠ DAE=∠ BCF,\\ ∠ AED=∠ CFB,\\ AD=CB,\end{array} $
∴△ADE≌△CBF(AAS),
∴AE=CF;
(2)
∵△ADE≌△CBF,
∴DE=FB.
又
∵DE//BF,
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴DF//EB,
∴∠DFE=∠BEF;
2. (2024·徐州期中)如图，O是∠MAN内一点，求作线段PQ，使点P，Q分别在射线AM，AN上，且O是PQ的中点(要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹).
小亮的作法如下：如图①，过点O作直线BC分别交AM，AN于点B，C. 作∠BOT=∠BCA，且OT交AM于点T，在射线TO上截取OE=OT，在AN上截取AQ，使得AQ=TE，连接QO，并延长交AM于点P，线段PQ即为所求.
(1)请证明小亮作法的正确性；
(2)请你在图②中再设计另一种尺规作图的方法(保留作图痕迹，不写作法).
小亮的作法如下：如图①，过点O作直线BC分别交AM，AN于点B，C. 作∠BOT=∠BCA，且OT交AM于点T，在射线TO上截取OE=OT，在AN上截取AQ，使得AQ=TE，连接QO，并延长交AM于点P，线段PQ即为所求.
(1)请证明小亮作法的正确性；
(2)请你在图②中再设计另一种尺规作图的方法(保留作图痕迹，不写作法).
答案：
(1)证明:连接QE.由作图过程可知OT//AN,AQ=TE,
∴四边形ATEQ是平行四边形，
∴AT//QE,
∴∠OTP=∠OEQ.
∵OT=OE,∠TOP=∠EOQ,
∴△OTP≌△OEQ(ASA),
∴OP=OQ.
(2)解:如答图，线段PQ即为所求，O是PQ的中点.
(1)证明:连接QE.由作图过程可知OT//AN,AQ=TE,
∴四边形ATEQ是平行四边形，
∴AT//QE,
∴∠OTP=∠OEQ.
∵OT=OE,∠TOP=∠EOQ,
∴△OTP≌△OEQ(ASA),
∴OP=OQ.
(2)解:如答图，线段PQ即为所求，O是PQ的中点.