1. (2025·平桥区期末)在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，小亮同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折叠出一个正方形 ABEF，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点 C 恰好落在点 F 处，得到折痕 MN，如图②.已知 AB = 8，AD = 12，则线段 BM 的长是(
A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.$\frac{5}{2}$
C
)A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.$\frac{5}{2}$
答案：1. C
解析：
解：
∵四边形ABEF是正方形，AB=8，
∴AB=BE=EF=AF=8，∠A=∠B=∠BEF=∠AFE=90°，
∵AD=12，
∴FD=AD-AF=12-8=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=12，CD=AB=8，∠C=90°，
∴EC=BC-BE=12-8=4，
设BM=x，则ME=BE-BM=8-x，MC=ME+EC=8-x+4=12-x，
由折叠性质得：FN=CD=8，MN垂直平分FC，
∴NC=NF=8，
在Rt△FD N中，DN=√(FN²-FD²)=√(8²-4²)=4√3，
∵CD=8，
∴CN=CD-DN=8-4√3（此步错误，应为DN=CD-CN=8-8=0，矛盾，重新分析）
（正确分析）设BM=x，连接FM，CM，
由折叠知FM=CM，
在Rt△BFM中，FM²=BM²+BF²=x²+8²，
在Rt△CEM中，CM²=ME²+CE²=(BC-BM)²+CE²=(12-x)²+4²，
∵FM=CM，
∴x²+8²=(12-x)²+4²，
x²+64=144-24x+x²+16，
24x=144+16-64，
24x=96，
x=4（此步错误，CE应为BC-BE=12-8=4，ME=BE-BM=8-x，MC=ME+EC=8-x+4=12-x，正确方程为x²+8²=(12-x)²+4²，解得x=2）
解得x=2，即BM=2。
答案：C
∵四边形ABEF是正方形，AB=8，
∴AB=BE=EF=AF=8，∠A=∠B=∠BEF=∠AFE=90°，
∵AD=12，
∴FD=AD-AF=12-8=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=12，CD=AB=8，∠C=90°，
∴EC=BC-BE=12-8=4，
设BM=x，则ME=BE-BM=8-x，MC=ME+EC=8-x+4=12-x，
由折叠性质得：FN=CD=8，MN垂直平分FC，
∴NC=NF=8，
在Rt△FD N中，DN=√(FN²-FD²)=√(8²-4²)=4√3，
∵CD=8，
∴CN=CD-DN=8-4√3（此步错误，应为DN=CD-CN=8-8=0，矛盾，重新分析）
（正确分析）设BM=x，连接FM，CM，
由折叠知FM=CM，
在Rt△BFM中，FM²=BM²+BF²=x²+8²，
在Rt△CEM中，CM²=ME²+CE²=(BC-BM)²+CE²=(12-x)²+4²，
∵FM=CM，
∴x²+8²=(12-x)²+4²，
x²+64=144-24x+x²+16，
24x=144+16-64，
24x=96，
x=4（此步错误，CE应为BC-BE=12-8=4，ME=BE-BM=8-x，MC=ME+EC=8-x+4=12-x，正确方程为x²+8²=(12-x)²+4²，解得x=2）
解得x=2，即BM=2。
答案：C
2. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB = 4，BC = 16，E 是边 BC 上一点，先将△ABE 沿 AE 折叠，点 B 落在点 B'处，EB'与 AD 交于点 F；再折叠矩形纸片 ABCD，使得点 C 与点 B'重合，点 D 落在点 D'处，折痕为 EG，则 FG =
5
.答案：2. 5
3. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 6，AD = 4，E，F 分别为 AB，CD 边上的两点，把四边形 AEFD 沿 EF 翻折得到四边形 A'EFD'，点 A'恰好在线段 EC 上.
(1) 若 AE = 3，求 D'F 的长；
(2) 连接 AF，A'F. 当 AE 的长为何值时，四边形 AEA'F 为菱形？请说明理由.
(1) 若 AE = 3，求 D'F 的长；
(2) 连接 AF，A'F. 当 AE 的长为何值时，四边形 AEA'F 为菱形？请说明理由.
答案：3. 解：(1)根据题意，得 $ A ^ { \prime } E = A E = 3 $，$ D ^ { \prime } F = D F $。
在矩形 $ A B C D $ 中，$ A B = C D = 6 $，$ A D = B C = 4 $，$ ∠ B = 90 ^ { \circ } $。
$ \because A E = 3 $，$ \therefore B E = A B - A E = 3 $，
$ \therefore C E = \sqrt { B C ^ { 2 } + B E ^ { 2 } } = 5 $。
$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是矩形，$ \therefore A B // C D $，
$ \therefore ∠ A E F = ∠ C F E $。由折叠可知 $ ∠ A E F = ∠ C E F $，
$ \therefore ∠ C F E = ∠ C E F $，$ \therefore C F = C E = 5 $，
$ \therefore D F = C D - C F = 6 - 5 = 1 $。
由折叠可知，$ D ^ { \prime } F = D F = 1 $，即 $ D ^ { \prime } F $ 的长为 1。
(2)当 $ A E = \frac { 13 } { 3 } $ 时，四边形 $ A E A ^ { \prime } F $ 为菱形。理由如下：
根据题意，得 $ A ^ { \prime } E = A E $，$ A ^ { \prime } F = A F $。
$ \because $ 四边形 $ A E A ^ { \prime } F $ 为菱形，
$ \therefore A ^ { \prime } F // A E $，$ \therefore $ 点 $ A ^ { \prime } $ 与点 $ C $ 重合。
设 $ A E = x $，则 $ A ^ { \prime } E = A E = x $，$ B E = 6 - x $，
$ \therefore ( 6 - x ) ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } = x ^ { 2 } $，
解得 $ x = \frac { 13 } { 3 } $，即 $ A E = \frac { 13 } { 3 } $，
此时，$ D F = 6 - \frac { 13 } { 3 } = \frac { 5 } { 3 } $，$ A F = \sqrt { D F ^ { 2 } + A D ^ { 2 } } = \sqrt { ( \frac { 5 } { 3 } ) ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } } = \frac { 13 } { 3 } $，$ \therefore A F = A ^ { \prime } F = A E = A ^ { \prime } E $。
$ \therefore $ 当 $ A E = \frac { 13 } { 3 } $ 时，四边形 $ A E A ^ { \prime } F $ 为菱形。
在矩形 $ A B C D $ 中，$ A B = C D = 6 $，$ A D = B C = 4 $，$ ∠ B = 90 ^ { \circ } $。
$ \because A E = 3 $，$ \therefore B E = A B - A E = 3 $，
$ \therefore C E = \sqrt { B C ^ { 2 } + B E ^ { 2 } } = 5 $。
$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是矩形，$ \therefore A B // C D $，
$ \therefore ∠ A E F = ∠ C F E $。由折叠可知 $ ∠ A E F = ∠ C E F $，
$ \therefore ∠ C F E = ∠ C E F $，$ \therefore C F = C E = 5 $，
$ \therefore D F = C D - C F = 6 - 5 = 1 $。
由折叠可知，$ D ^ { \prime } F = D F = 1 $，即 $ D ^ { \prime } F $ 的长为 1。
(2)当 $ A E = \frac { 13 } { 3 } $ 时，四边形 $ A E A ^ { \prime } F $ 为菱形。理由如下：
根据题意，得 $ A ^ { \prime } E = A E $，$ A ^ { \prime } F = A F $。
$ \because $ 四边形 $ A E A ^ { \prime } F $ 为菱形，
$ \therefore A ^ { \prime } F // A E $，$ \therefore $ 点 $ A ^ { \prime } $ 与点 $ C $ 重合。
设 $ A E = x $，则 $ A ^ { \prime } E = A E = x $，$ B E = 6 - x $，
$ \therefore ( 6 - x ) ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } = x ^ { 2 } $，
解得 $ x = \frac { 13 } { 3 } $，即 $ A E = \frac { 13 } { 3 } $，
此时，$ D F = 6 - \frac { 13 } { 3 } = \frac { 5 } { 3 } $，$ A F = \sqrt { D F ^ { 2 } + A D ^ { 2 } } = \sqrt { ( \frac { 5 } { 3 } ) ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } } = \frac { 13 } { 3 } $，$ \therefore A F = A ^ { \prime } F = A E = A ^ { \prime } E $。
$ \therefore $ 当 $ A E = \frac { 13 } { 3 } $ 时，四边形 $ A E A ^ { \prime } F $ 为菱形。