1. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$∠ A = 60^{\circ}$，$F$，$G$ 分别是边 $AB$，$BC$ 上的点（异于两端），且 $△ DFG$ 是等边三角形.
(1) 在图①中，线段 $BF$，$BG$，$BD$ 之间有什么数量关系？试证明你的结论.
(2) 如图②，若 $E$ 是射线 $BD$ 上的点（除端点），$△ EFG$ 是等边三角形，其他条件不变，线段 $BF$，$BG$，$BE$ 之间有什么数量关系？直接写出你的结论.
(1) 在图①中，线段 $BF$，$BG$，$BD$ 之间有什么数量关系？试证明你的结论.
(2) 如图②，若 $E$ 是射线 $BD$ 上的点（除端点），$△ EFG$ 是等边三角形，其他条件不变，线段 $BF$，$BG$，$BE$ 之间有什么数量关系？直接写出你的结论.
答案：
1.解:(1)BF + BG = BD.证明如下:
如答图，过点G作GH//CD交BD于点H.
∵四边形ABCD是菱形,∠A = 60°,
∴BC = CD,∠C = ∠A = 60°,
∴△BCD是等边三角形,
∴∠BDC = 60°,
∵GH//CD,
∴∠BGH = ∠C = 60°,∠BHG = ∠BDC = 60°,
∴△BGH是等边三角形,
∴BG = HG = BH.
又
∵△DFG是等边三角形，
∴GF = DG,∠FGD = 60°,
∴∠BGH - ∠FGH = ∠FGD - ∠FGH,
即∠BGF = ∠HGD,
∴△BFG≌△HDG,
∴BF = HD,
∴BF + BG = HD + BH = BD.
(2)BF + BG = BE.
1.解:(1)BF + BG = BD.证明如下:
如答图，过点G作GH//CD交BD于点H.
∵四边形ABCD是菱形,∠A = 60°,
∴BC = CD,∠C = ∠A = 60°,
∴△BCD是等边三角形,
∴∠BDC = 60°,
∵GH//CD,
∴∠BGH = ∠C = 60°,∠BHG = ∠BDC = 60°,
∴△BGH是等边三角形,
∴BG = HG = BH.
又
∵△DFG是等边三角形，
∴GF = DG,∠FGD = 60°,
∴∠BGH - ∠FGH = ∠FGD - ∠FGH,
即∠BGF = ∠HGD,
∴△BFG≌△HDG,
∴BF = HD,
∴BF + BG = HD + BH = BD.
(2)BF + BG = BE.
2. (2024·南京南外期中)如图，$P$ 是线段 $AB$ 上一动点，$AB = 8$，以 $PA$，$PB$ 为对角线分别作出菱形 $ADPC$ 和菱形 $PFBE$ 且 $∠ ACP=∠ PEB = 60^{\circ}$.
(1) 求证：$DE$ 的长度为定值；
(2) 连接 $CE$，当 $AP = 2$ 时，求 $△ PCE$ 的面积；
(3) 若再连接 $DF$，分别取六边形 $ADFBEC$ 各边的中点，当点 $P$ 从点 $A$ 运动到点 $B$ 时，各边中点运动路径的总长度为
(1) 求证：$DE$ 的长度为定值；
(2) 连接 $CE$，当 $AP = 2$ 时，求 $△ PCE$ 的面积；
(3) 若再连接 $DF$，分别取六边形 $ADFBEC$ 各边的中点，当点 $P$ 从点 $A$ 运动到点 $B$ 时，各边中点运动路径的总长度为
24
.答案：
2.(1)证明:
∵四边形ADPC和四边形PFBE都是菱形，
∴AC = PC = AD = PD,EP = BE.
又
∵∠ACP = ∠BEP = 60°,
∴△ACP和△BEP都是等边三角形，
∴AC = AP = PD,PB = PE,
∴DE = PD + EP = AP + PB = AB = 8,
∴DE的长度为定值,即DE = 8.
(2)解:如答图①,过点C作CG⊥PE,垂足为G;
∵△ACP和△BEP都是等边三角形,
∴∠APC = ∠BPE = 60°,PC = AP = 2,PE = PB = AB - AP = 8 - 2 = 6,
∴∠CPE = 60°,
∴∠PCG = 30°,
∴PG = $\frac{1}{2}$PC = 1,
∴CG = $\sqrt {PC ^ { 2 } - PG ^ { 2 } }$ = $\sqrt{3}$,
∴$S _ { △ PCE }$ = $\frac{1}{2}$PE·CG = $\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{3}$ = 3$\sqrt{3}$.
(3)24 点拨:延长AC,BE交于点Q,取AC的中点M,CE的中点N,AQ的中点T,BQ的中点K,连接PQ,TK,如答图②.
∵△ACP和△BEP都是等边三角形,
∴∠PAC = ∠ABE = 60°,
∴△ABQ是等边三角形，
∴AQ = AB = BQ = 8,
∴QE = CP,CQ = PE,
∴四边形PCQE是平行四边形，
∴QN = PN,
∴当点P在起点A时,CE的中点N与AQ的中点T重合，当点P在终点B时,CE的中点N与BQ的中点K重合，点N在线段TK上运动，
∴点N运动路径的长度为TK = $\frac{1}{2}$AB = 4,
当点P在起点A时，点M与点A重合，当点P在终点B 时，点M与AQ的中点T重合，
∴点M运动路径的长度为$\frac{1}{2}$AQ = $\frac{1}{2}$AB = 4,
同理DF,AD,BF,BE的中点运动路径的长度为4，
综上所述，当点P从点A运动到点B时,各边中点运动路径的总长度为4×6 = 24.
2.(1)证明:
∵四边形ADPC和四边形PFBE都是菱形，
∴AC = PC = AD = PD,EP = BE.
又
∵∠ACP = ∠BEP = 60°,
∴△ACP和△BEP都是等边三角形，
∴AC = AP = PD,PB = PE,
∴DE = PD + EP = AP + PB = AB = 8,
∴DE的长度为定值,即DE = 8.
(2)解:如答图①,过点C作CG⊥PE,垂足为G;
∵△ACP和△BEP都是等边三角形,
∴∠APC = ∠BPE = 60°,PC = AP = 2,PE = PB = AB - AP = 8 - 2 = 6,
∴∠CPE = 60°,
∴∠PCG = 30°,
∴PG = $\frac{1}{2}$PC = 1,
∴CG = $\sqrt {PC ^ { 2 } - PG ^ { 2 } }$ = $\sqrt{3}$,
∴$S _ { △ PCE }$ = $\frac{1}{2}$PE·CG = $\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{3}$ = 3$\sqrt{3}$.
(3)24 点拨:延长AC,BE交于点Q,取AC的中点M,CE的中点N,AQ的中点T,BQ的中点K,连接PQ,TK,如答图②.
∵△ACP和△BEP都是等边三角形,
∴∠PAC = ∠ABE = 60°,
∴△ABQ是等边三角形，
∴AQ = AB = BQ = 8,
∴QE = CP,CQ = PE,
∴四边形PCQE是平行四边形，
∴QN = PN,
∴当点P在起点A时,CE的中点N与AQ的中点T重合，当点P在终点B时,CE的中点N与BQ的中点K重合，点N在线段TK上运动，
∴点N运动路径的长度为TK = $\frac{1}{2}$AB = 4,
当点P在起点A时，点M与点A重合，当点P在终点B 时，点M与AQ的中点T重合，
∴点M运动路径的长度为$\frac{1}{2}$AQ = $\frac{1}{2}$AB = 4,
同理DF,AD,BF,BE的中点运动路径的长度为4，
综上所述，当点P从点A运动到点B时,各边中点运动路径的总长度为4×6 = 24.