1. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，动点 $E$，$F$ 分别从 $D$，$C$ 两点同时出发，以相同的速度在边 $DC$，$CB$ 上移动，连接 $AE$ 和 $DF$ 交于点 $P$，由于点 $E$，$F$ 的移动，使得点 $P$ 也随之移动. 若 $AD = 2$，则线段 $CP$ 的最小值是
$\sqrt{5}-1$
.答案：1. $\sqrt{5}-1$
解析：
证明：在正方形$ABCD$中，$AD = CD$，$∠ ADC=∠ C = 90°$。
因为$E$，$F$速度相同，所以$DE = CF$。
在$△ ADE$和$△ DCF$中，
$\begin{cases}AD = CD \\∠ ADE=∠ DCF \\DE = CF\end{cases}$
所以$△ ADE≌△ DCF(\mathrm{SAS})$，则$∠ DAE=∠ CDF$。
因为$∠ ADP+∠ CDF = 90°$，所以$∠ ADP+∠ DAE=90°$，即$∠ APD = 90°$。
所以点$P$在以$AD$为直径的圆上运动，设$AD$中点为$O$，则$O(1,1)$，半径$r = 1$。
$C(2,2)$，则$OC=\sqrt{(2 - 1)^2+(2 - 1)^2}=\sqrt{2}$。
所以$CP$最小值为$OC - r=\sqrt{2}-1$？
（注：此处发现原证明中坐标设定可能有误，正确应为：以$A$为原点，$AB$为$x$轴，$AD$为$y$轴，$A(0,0)$，$D(0,2)$，则$AD$中点$O(0,1)$，$C(2,2)$，$OC=\sqrt{(2 - 0)^2+(2 - 1)^2}=\sqrt{5}$，$CP$最小值为$OC - r=\sqrt{5}-1$）
证明：在正方形$ABCD$中，$AD = CD$，$∠ ADC=∠ C = 90°$。
因为$E$，$F$速度相同，所以$DE = CF$。
在$△ ADE$和$△ DCF$中，
$\begin{cases}AD = CD \\∠ ADE=∠ DCF \\DE = CF\end{cases}$
所以$△ ADE≌△ DCF(\mathrm{SAS})$，则$∠ DAE=∠ CDF$。
因为$∠ ADP+∠ CDF = 90°$，所以$∠ ADP+∠ DAE=90°$，即$∠ APD = 90°$。
所以点$P$在以$AD$为直径的圆上运动，设$AD$中点为$O$，$AD = 2$，则$OA=OD = 1$，$O$为$AD$中点，坐标设为$O(0,1)$（以$A$为原点，$AB$为$x$轴，$AD$为$y$轴），$C(2,2)$。
$OC=\sqrt{(2 - 0)^2+(2 - 1)^2}=\sqrt{4 + 1}=\sqrt{5}$。
所以$CP$最小值为$OC - r=\sqrt{5}-1$。
$\sqrt{5}-1$
因为$E$，$F$速度相同，所以$DE = CF$。
在$△ ADE$和$△ DCF$中，
$\begin{cases}AD = CD \\∠ ADE=∠ DCF \\DE = CF\end{cases}$
所以$△ ADE≌△ DCF(\mathrm{SAS})$，则$∠ DAE=∠ CDF$。
因为$∠ ADP+∠ CDF = 90°$，所以$∠ ADP+∠ DAE=90°$，即$∠ APD = 90°$。
所以点$P$在以$AD$为直径的圆上运动，设$AD$中点为$O$，则$O(1,1)$，半径$r = 1$。
$C(2,2)$，则$OC=\sqrt{(2 - 1)^2+(2 - 1)^2}=\sqrt{2}$。
所以$CP$最小值为$OC - r=\sqrt{2}-1$？
（注：此处发现原证明中坐标设定可能有误，正确应为：以$A$为原点，$AB$为$x$轴，$AD$为$y$轴，$A(0,0)$，$D(0,2)$，则$AD$中点$O(0,1)$，$C(2,2)$，$OC=\sqrt{(2 - 0)^2+(2 - 1)^2}=\sqrt{5}$，$CP$最小值为$OC - r=\sqrt{5}-1$）
证明：在正方形$ABCD$中，$AD = CD$，$∠ ADC=∠ C = 90°$。
因为$E$，$F$速度相同，所以$DE = CF$。
在$△ ADE$和$△ DCF$中，
$\begin{cases}AD = CD \\∠ ADE=∠ DCF \\DE = CF\end{cases}$
所以$△ ADE≌△ DCF(\mathrm{SAS})$，则$∠ DAE=∠ CDF$。
因为$∠ ADP+∠ CDF = 90°$，所以$∠ ADP+∠ DAE=90°$，即$∠ APD = 90°$。
所以点$P$在以$AD$为直径的圆上运动，设$AD$中点为$O$，$AD = 2$，则$OA=OD = 1$，$O$为$AD$中点，坐标设为$O(0,1)$（以$A$为原点，$AB$为$x$轴，$AD$为$y$轴），$C(2,2)$。
$OC=\sqrt{(2 - 0)^2+(2 - 1)^2}=\sqrt{4 + 1}=\sqrt{5}$。
所以$CP$最小值为$OC - r=\sqrt{5}-1$。
$\sqrt{5}-1$
2. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 为 $CD$ 的中点，点 $F$，$G$ 分别在 $BC$，$AD$ 边上，且 $GF ⊥ BE$，相交于点 $O$，若四边形 $BFEG$ 的面积为 $\frac{5}{2}$，则 $AB$ 的长为
2
.答案：2. 2
(1) 如图①，$E$ 是边长为 $12$ 的正方形纸片 $ABCD$ 的边 $AD$ 上一动点，将正方形纸片沿着 $CE$ 折叠，点 $D$ 落在点 $F$ 处，把纸片展平，射线 $DF$ 交射线 $AB$ 于点 $P$. 根据以上操作，图①中 $AP$ 与 $EF$ 的数量关系是
(2) 在 (1) 的条件下，若 $E$ 是 $AD$ 的中点，如图②，延长 $CF$ 交 $AB$ 于点 $Q$，点 $Q$ 的位置是否确定？如果确定，求出线段 $BQ$ 的长度；如果不确定，说明理由.
$AP=EF$
.(2) 在 (1) 的条件下，若 $E$ 是 $AD$ 的中点，如图②，延长 $CF$ 交 $AB$ 于点 $Q$，点 $Q$ 的位置是否确定？如果确定，求出线段 $BQ$ 的长度；如果不确定，说明理由.
答案：
3. (1) $AP=EF$
(2) 解: 点$Q$的位置确定, 如答图, 连接$EQ$.
由折叠可知,$EF=DE$,$CF=CD=12$,$∠ EFQ=∠ EFC=∠ ADC=90^{\circ}$.
$\because E$是$AD$的中点,$\therefore AE=DE$,$\therefore AE=EF$.
$\because ∠ A=∠ EFQ=90^{\circ}$,$QE=QE$,
$\therefore Rt△ AEQ≌ Rt△ FEQ(HL)$,$\therefore AQ=FQ$.
设$BQ=x$, 则$FQ=AQ=12 - x$.
在$Rt△ BCQ$中,$CQ=CF+FQ=12+(12 - x)=24 - x$,
$BQ=x$,$BC=12$,
$\therefore (24 - x)^{2}-x^{2}=12^{2}$, 解得$x=9$,$\therefore BQ=9$.
3. (1) $AP=EF$
(2) 解: 点$Q$的位置确定, 如答图, 连接$EQ$.
由折叠可知,$EF=DE$,$CF=CD=12$,$∠ EFQ=∠ EFC=∠ ADC=90^{\circ}$.
$\because E$是$AD$的中点,$\therefore AE=DE$,$\therefore AE=EF$.
$\because ∠ A=∠ EFQ=90^{\circ}$,$QE=QE$,
$\therefore Rt△ AEQ≌ Rt△ FEQ(HL)$,$\therefore AQ=FQ$.
设$BQ=x$, 则$FQ=AQ=12 - x$.
在$Rt△ BCQ$中,$CQ=CF+FQ=12+(12 - x)=24 - x$,
$BQ=x$,$BC=12$,
$\therefore (24 - x)^{2}-x^{2}=12^{2}$, 解得$x=9$,$\therefore BQ=9$.