17. (2024·泰兴期中)如图，$E$ 是正方形 $ABCD$ 的边 $BC$ 延长线上的一点，且 $CE = BD$，则 $∠ E$ 的度数为
22.5°
.答案：17.22.5°
解析：
证明：连接AC。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，∠ACB=45°。
∵CE=BD，
∴AC=CE，
∴∠E=∠CAE。
∵∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E=45°，
∴∠E=22.5°。
22.5°
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，∠ACB=45°。
∵CE=BD，
∴AC=CE，
∴∠E=∠CAE。
∵∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E=45°，
∴∠E=22.5°。
22.5°
18. (2024·天津)如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $3\sqrt{2}$，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，点 $E$ 在 $CA$ 的延长线上，$OE = 5$，连接 $DE$.
(1)线段 $AE$ 的长为
(2)若 $F$ 为 $DE$ 的中点，则线段 $AF$ 的长为
(1)线段 $AE$ 的长为
2
；(2)若 $F$ 为 $DE$ 的中点，则线段 $AF$ 的长为
$\frac{\sqrt{10}}{2}$
.答案：18.(1)2 (2)$\frac{\sqrt{10}}{2}$
三、解答题（共 56 分）
19. (8 分)如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$AB = DC$，$M$，$N$ 分别是 $AD$，$BC$ 的中点，$AD = 3$，$BC = 9$，$∠ B = 45^{\circ}$. 求 $MN$ 的长.
19. (8 分)如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$AB = DC$，$M$，$N$ 分别是 $AD$，$BC$ 的中点，$AD = 3$，$BC = 9$，$∠ B = 45^{\circ}$. 求 $MN$ 的长.
答案：
19.解:如答图，过点M作ME//AB,交BC于点E,过点M 作MF//CD,交BC于点F.
∵AD//BC,
∴四边形ABEM与四边形DCFM是平行四边形，
∴BE=AM,CF=DM,ME=AB,MF=DC,
∴EF=BC−BE−CF=BC−AM−DM=BC−AD=9−3=6.
∵AB=DC,
∴ME=MF;
∵∠B=45°,
∴∠MEF=∠MFE=∠B=45°,
∴∠EMF=90°.
∵M,N分别是AD,BC的中点，
∴AM=DM,BN=CN,
∴EN=FN,
∴MN=$\frac{1}{2}$EF=3.
19.解:如答图，过点M作ME//AB,交BC于点E,过点M 作MF//CD,交BC于点F.
∵AD//BC,
∴四边形ABEM与四边形DCFM是平行四边形，
∴BE=AM,CF=DM,ME=AB,MF=DC,
∴EF=BC−BE−CF=BC−AM−DM=BC−AD=9−3=6.
∵AB=DC,
∴ME=MF;
∵∠B=45°,
∴∠MEF=∠MFE=∠B=45°,
∴∠EMF=90°.
∵M,N分别是AD,BC的中点，
∴AM=DM,BN=CN,
∴EN=FN,
∴MN=$\frac{1}{2}$EF=3.
20. (8 分)如图，在 $△ ABC$ 中，$D$，$E$ 分别为 $AB$，$AC$ 的中点，点 $H$ 在线段 $CE$ 上，连接 $BH$，$G$，$F$ 分别为 $BH$，$CH$ 的中点.
（1）求证：四边形 $DEFG$ 为平行四边形；
（2）若 $DG⊥ BH$，$BD = 3$，$EF = 2$，求线段 $BG$ 的长度.
（1）求证：四边形 $DEFG$ 为平行四边形；
（2）若 $DG⊥ BH$，$BD = 3$，$EF = 2$，求线段 $BG$ 的长度.
答案：20.(1)证明:
∵D,E分别为AB,AC的中点,G,F分别为BH,CH的中点，
∴DE是△ABC的中位线,GF是△HBC的中位线,
∴DE//BC,DE=$\frac{1}{2}$BC,GF//BC,GF=$\frac{1}{2}$BC,
∴DE//GF,DE=GF,
∴四边形DEFG为平行四边形.
(2)解:
∵四边形DEFG为平行四边形,
∴DG=EF=2.
∵DG⊥BH,
∴∠DGB=90°,
∴BG=$\sqrt{BD^2-DG^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$.
∵D,E分别为AB,AC的中点,G,F分别为BH,CH的中点，
∴DE是△ABC的中位线,GF是△HBC的中位线,
∴DE//BC,DE=$\frac{1}{2}$BC,GF//BC,GF=$\frac{1}{2}$BC,
∴DE//GF,DE=GF,
∴四边形DEFG为平行四边形.
(2)解:
∵四边形DEFG为平行四边形,
∴DG=EF=2.
∵DG⊥BH,
∴∠DGB=90°,
∴BG=$\sqrt{BD^2-DG^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$.
21. (8 分)(2024·兰州)如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，$CE// AD$，$AE⊥ AD$，$EF⊥ AC$.
（1）求证：四边形 $ADCE$ 是矩形；
（2）若 $BC = 4$，$CE = 3$，求 $EF$ 的长.
（1）求证：四边形 $ADCE$ 是矩形；
（2）若 $BC = 4$，$CE = 3$，求 $EF$ 的长.
答案：21.(1)证明:
∵在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点，
∴AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°.
∵CE//AD,
∴∠ECD=∠ADB=90°.
∵AE⊥AD,
∴∠EAD=90°,
∴∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
(2)解:
∵在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,BC=4,
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=2.
由(1)可知四边形ADCE是矩形,
∴AE=CD=2,∠AEC=90°.
在Rt△AEC中,AE=2,CE=3,
由勾股定理，得AC=$\sqrt{AE^2+CE^2}=\sqrt{13}$.
∵EF⊥AC,由三角形的面积公式,得$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}AC· EF=\frac{1}{2}AE· CE$,
∴EF=$\frac{AE· CE}{AC}=\frac{2×3}{\sqrt{13}}=\frac{6\sqrt{13}}{13}$.
∵在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点，
∴AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°.
∵CE//AD,
∴∠ECD=∠ADB=90°.
∵AE⊥AD,
∴∠EAD=90°,
∴∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
(2)解:
∵在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,BC=4,
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=2.
由(1)可知四边形ADCE是矩形,
∴AE=CD=2,∠AEC=90°.
在Rt△AEC中,AE=2,CE=3,
由勾股定理，得AC=$\sqrt{AE^2+CE^2}=\sqrt{13}$.
∵EF⊥AC,由三角形的面积公式,得$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}AC· EF=\frac{1}{2}AE· CE$,
∴EF=$\frac{AE· CE}{AC}=\frac{2×3}{\sqrt{13}}=\frac{6\sqrt{13}}{13}$.