一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)
1. 下列事件中,属于必然事件的是(
①抛出的篮球会下落;②从装有黑球、白球的袋中摸出红球;③14 人中至少有 2 人是同月出生;④买一张彩票,中 1000 万大奖.
A.①④
B.③④
C.②④
D.①③
1. 下列事件中,属于必然事件的是(
D
)①抛出的篮球会下落;②从装有黑球、白球的袋中摸出红球;③14 人中至少有 2 人是同月出生;④买一张彩票,中 1000 万大奖.
A.①④
B.③④
C.②④
D.①③
答案：1.D
2. 已知 $ ab＜0 $,则化简 $ -\sqrt{-a^{2}b} $的结果为(
A.$ -a\sqrt{-b} $
B.$ -a\sqrt{b} $
C.$ a\sqrt{b} $
D.$ a\sqrt{-b} $
A
)A.$ -a\sqrt{-b} $
B.$ -a\sqrt{b} $
C.$ a\sqrt{b} $
D.$ a\sqrt{-b} $
答案：2.A
解析：
要使$-\sqrt{-a^{2}b}$有意义，则$-a^{2}b≥0$，因为$a^{2}≥0$，所以$-b≥0$，即$b≤0$。
又因为$ab＜0$，$b≤0$，所以$b＜0$，则$a＞0$。
$-\sqrt{-a^{2}b}=-\sqrt{a^{2}·(-b)}=-a\sqrt{-b}$
A
又因为$ab＜0$，$b≤0$，所以$b＜0$，则$a＞0$。
$-\sqrt{-a^{2}b}=-\sqrt{a^{2}·(-b)}=-a\sqrt{-b}$
A
3. 若关于 $ x $的方程 $ \frac{mx - 1}{x - 1} = 2 $无解,则 $ m $的值为(
A.1
B.1 或 3
C.1 或 2
D.2 或 3
C
)A.1
B.1 或 3
C.1 或 2
D.2 或 3
答案：3.C
解析：
方程两边同乘$x - 1$得：$mx - 1 = 2(x - 1)$，化简得$(m - 2)x = -1$。
情况1：当$m - 2 = 0$，即$m = 2$时，方程$0x = -1$无解，原方程无解。
情况2：当$m - 2 ≠ 0$，即$m ≠ 2$时，$x = \frac{-1}{m - 2}$。若原方程无解，则$x = 1$是增根，即$\frac{-1}{m - 2} = 1$，解得$m = 1$。
综上，$m = 1$或$m = 2$。
C
情况1：当$m - 2 = 0$，即$m = 2$时，方程$0x = -1$无解，原方程无解。
情况2：当$m - 2 ≠ 0$，即$m ≠ 2$时，$x = \frac{-1}{m - 2}$。若原方程无解，则$x = 1$是增根，即$\frac{-1}{m - 2} = 1$，解得$m = 1$。
综上，$m = 1$或$m = 2$。
C
4. 如图,正方形 $ ABCD $的边 $ AB $上有一动点 $ E $,以 $ EC $为边作矩形 $ ECFG $且边 $ FG $过点 $ D $,在点 $ E $从点 $ A $移动到点 $ B $的过程中,矩形 $ ECFG $的面积(
A.保持不变
B.一直变小
C.先变小后变大
D.先变大后变小
A
)A.保持不变
B.一直变小
C.先变小后变大
D.先变大后变小
答案：4.A
解析：
设正方形$ABCD$的边长为$a$，$AE=x$，则$EB=a - x$。
在$Rt△ EBC$中，$EC=\sqrt{EB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(a - x)^{2}+a^{2}}$。
因为$∠ GDE + ∠ CDE = 90^{\circ}$，$∠ ECB + ∠ CEB = 90^{\circ}$，且$∠ CDE = ∠ CEB$（矩形对边平行，内错角相等），所以$∠ GDE = ∠ ECB$。
又因为$∠ G = ∠ EBC = 90^{\circ}$，所以$△ GDE ∼ △ BCE$。
则$\frac{GD}{BC}=\frac{DE}{EC}$，$GD=\frac{BC · DE}{EC}$。
$DE=\sqrt{AD^{2}+AE^{2}}=\sqrt{a^{2}+x^{2}}$，矩形$ECFG$的面积$S = EC · GD = EC · \frac{BC · DE}{EC}=BC · DE$。
因为$BC = a$，$DE=\sqrt{a^{2}+x^{2}}$，但通过相似比推导可知$S = a^{2}$（为定值）。
矩形$ECFG$的面积保持不变。
A
在$Rt△ EBC$中，$EC=\sqrt{EB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(a - x)^{2}+a^{2}}$。
因为$∠ GDE + ∠ CDE = 90^{\circ}$，$∠ ECB + ∠ CEB = 90^{\circ}$，且$∠ CDE = ∠ CEB$（矩形对边平行，内错角相等），所以$∠ GDE = ∠ ECB$。
又因为$∠ G = ∠ EBC = 90^{\circ}$，所以$△ GDE ∼ △ BCE$。
则$\frac{GD}{BC}=\frac{DE}{EC}$，$GD=\frac{BC · DE}{EC}$。
$DE=\sqrt{AD^{2}+AE^{2}}=\sqrt{a^{2}+x^{2}}$，矩形$ECFG$的面积$S = EC · GD = EC · \frac{BC · DE}{EC}=BC · DE$。
因为$BC = a$，$DE=\sqrt{a^{2}+x^{2}}$，但通过相似比推导可知$S = a^{2}$（为定值）。
矩形$ECFG$的面积保持不变。
A
二、填空题(每小题 5 分,共 30 分)
5. 为了了解某地区大、中、小学生课外阅读情况,教育部门从这三类学生群体中共抽取了 4000名学生进行调查,各类学生所占比例如图所示,则大学生共调查了
5. 为了了解某地区大、中、小学生课外阅读情况,教育部门从这三类学生群体中共抽取了 4000名学生进行调查,各类学生所占比例如图所示,则大学生共调查了
600
名.答案：5.600
解析：
4000×(1 - 45% - 40%) = 4000×15% = 600
6. 计算: $ (3\sqrt{2} - 1)^{2} = $
19−6$\sqrt{2}$
.答案：6.19−6$\sqrt{2}$
解析：
$(3\sqrt{2} - 1)^{2}=(3\sqrt{2})^{2}-2×3\sqrt{2}×1 + 1^{2}=18 - 6\sqrt{2}+1=19 - 6\sqrt{2}$
7. 已知 $ x^{2} - 4x + 1 = 0 $,则 $ x - \frac{1}{x} = $
±2$\sqrt{3}$
.答案：7.±2$\sqrt{3}$
解析：
解：由$x^{2} - 4x + 1 = 0$，两边同除以$x$（$x≠0$），得$x - 4 + \frac{1}{x} = 0$，即$x + \frac{1}{x} = 4$。
$(x - \frac{1}{x})^{2} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 4 = 4^{2} - 4 = 12$，则$x - \frac{1}{x} = \pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}$。
±2√3
$(x - \frac{1}{x})^{2} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 4 = 4^{2} - 4 = 12$，则$x - \frac{1}{x} = \pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}$。
±2√3
8. 有六张形状完全相同的不透明卡片,每张卡片上分别写有 $ 0,\sqrt{3}, - 1,\sqrt{4},\frac{1}{27},π $,将无字一面朝上洗匀后,从中任取一张,取到的是无理数的概率是
$\frac{1}{3}$
.答案：8.$\frac{1}{3}$
解析：
在六张卡片中，写有的数分别为$0$，$\sqrt{3}$，$-1$，$\sqrt{4}$，$\frac{1}{27}$，$π$。
其中$\sqrt{4}=2$，所以有理数有$0$，$-1$，$\sqrt{4}$，$\frac{1}{27}$，共$4$个；无理数有$\sqrt{3}$，$π$，共$2$个。
总共有$6$张卡片，所以取到无理数的概率是$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
$\frac{1}{3}$
其中$\sqrt{4}=2$，所以有理数有$0$，$-1$，$\sqrt{4}$，$\frac{1}{27}$，共$4$个；无理数有$\sqrt{3}$，$π$，共$2$个。
总共有$6$张卡片，所以取到无理数的概率是$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
$\frac{1}{3}$
9. 如图,有两张矩形纸片 $ ABCD $和 $ EFGH $,$ AB = EF = 2\ \mathrm{cm} $,$ BC = FG = 8\ \mathrm{cm} $,使重叠部分为平行四边形,且点 $ D $与点 $ G $重合. 当两张纸片交叉所成的角 $ α $最小时,重叠部分的面积为
$\frac{17}{2}$
$ \mathrm{cm}^{2} $.答案：9.$\frac{17}{2}$
解析：
设重叠部分平行四边形的一边长为 $ x \, \mathrm{cm} $，则另一邻边长为 $ \sqrt{8^2 - (x - 2)^2} \, \mathrm{cm} $。重叠部分面积 $ S = 2x $，且需满足 $ \sqrt{8^2 - (x - 2)^2} ≥ 2 $。解得 $ x ≥ \frac{17}{4} $，当 $ x = \frac{17}{4} $ 时，$ S = 2 × \frac{17}{4} = \frac{17}{2} \, \mathrm{cm}^2 $。
$\frac{17}{2}$
$\frac{17}{2}$
10. 如图,在菱形 $ ABCD $中,$ ∠ A = 60^{\circ} $,$ AB = 4 $. 折叠该菱形,使点 $ A $落在边 $ BC $上的点 $ M $处,折痕分别与边 $ AB,AD $交于点 $ E,F $. 当点 $ M $与点 $ B $重合时,$ EF $的长为
2$\sqrt{3}$
;当点 $ M $的位置变化时,$ DF $长的最大值为4−2$\sqrt{3}$
.答案：10.2$\sqrt{3}$ 4−2$\sqrt{3}$
解析：
当点$ M $与点$ B $重合时：
折叠后$ AE = BE $，$ AF = BF $，$ EF ⊥ AB $。
菱形$ ABCD $中，$ AB = 4 $，$ ∠ A = 60° $，$ AE = \frac{1}{2}AB = 2 $。
在$ \mathrm{Rt}△ AEF $中，$ \tan 60° = \frac{EF}{AE} $，$ EF = AE · \tan 60° = 2\sqrt{3} $。
当点$ M $位置变化时：
设$ DF = x $，则$ AF = 4 - x $，折叠后$ FM = AF = 4 - x $。
过$ F $作$ FG ⊥ BC $于$ G $，$ FG = AB · \sin 60° = 2\sqrt{3} $，$ CG = DF = x $，$ MG = |4 - 2x| $。
在$ \mathrm{Rt}△ FMG $中，$ (4 - x)^2 = (2\sqrt{3})^2 + (4 - 2x)^2 $，整理得$ 3x^2 - 8x + 4 = 0 $。
解得$ x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{3} $，$ DF $最大值为$ 4 - 2\sqrt{3} $。
$ 2\sqrt{3} $；$ 4 - 2\sqrt{3} $
折叠后$ AE = BE $，$ AF = BF $，$ EF ⊥ AB $。
菱形$ ABCD $中，$ AB = 4 $，$ ∠ A = 60° $，$ AE = \frac{1}{2}AB = 2 $。
在$ \mathrm{Rt}△ AEF $中，$ \tan 60° = \frac{EF}{AE} $，$ EF = AE · \tan 60° = 2\sqrt{3} $。
当点$ M $位置变化时：
设$ DF = x $，则$ AF = 4 - x $，折叠后$ FM = AF = 4 - x $。
过$ F $作$ FG ⊥ BC $于$ G $，$ FG = AB · \sin 60° = 2\sqrt{3} $，$ CG = DF = x $，$ MG = |4 - 2x| $。
在$ \mathrm{Rt}△ FMG $中，$ (4 - x)^2 = (2\sqrt{3})^2 + (4 - 2x)^2 $，整理得$ 3x^2 - 8x + 4 = 0 $。
解得$ x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{3} $，$ DF $最大值为$ 4 - 2\sqrt{3} $。
$ 2\sqrt{3} $；$ 4 - 2\sqrt{3} $