三、解答题(共 50 分)
11. (10 分)解方程:
(1) $ \frac{x}{x + 3} + \frac{2}{x} = 1 $; (2) $ \frac{2}{3} + \frac{2x}{3x - 1} = \frac{2}{9x - 3} $.
11. (10 分)解方程:
(1) $ \frac{x}{x + 3} + \frac{2}{x} = 1 $; (2) $ \frac{2}{3} + \frac{2x}{3x - 1} = \frac{2}{9x - 3} $.
答案：11.解:(1)方程两边同乘x(x+3)，
得x²+2(x+3)=x(x+3)，
解得x=6，
检验:当x=6时，x(x+3)≠0，
所以原方程的解是x=6。
(2)方程两边同乘3(3x−1)，得6x−2 + 6x = 2，
解得x=$\frac{1}{3}$。
检验:当x=$\frac{1}{3}$时，3(3x−1)=0，x=$\frac{1}{3}$是增根，所以原方程无解。
得x²+2(x+3)=x(x+3)，
解得x=6，
检验:当x=6时，x(x+3)≠0，
所以原方程的解是x=6。
(2)方程两边同乘3(3x−1)，得6x−2 + 6x = 2，
解得x=$\frac{1}{3}$。
检验:当x=$\frac{1}{3}$时，3(3x−1)=0，x=$\frac{1}{3}$是增根，所以原方程无解。
12. (10 分)某学校图书馆购进甲、乙两种书籍,已知每本甲种图书的进价比每本乙种图书的进价高 30 元,用 1350 元购买甲种图书的数量与用 900 元购买乙种图书的数量相同.
(1)求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元;
(2)某中学计划购进甲、乙两种图书共 140 本,且甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多 12 本,怎样购买才能使购书总费用 $ W $最少? 并求出最少费用.
(1)求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元;
(2)某中学计划购进甲、乙两种图书共 140 本,且甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多 12 本,怎样购买才能使购书总费用 $ W $最少? 并求出最少费用.
答案：12.解:(1)设乙种图书每本的进价为x元，则甲种图书每本的进价为(x + 30)元，
由题意，得$\frac{1350}{x + 30}$ = $\frac{900}{x}$，解得x = 60，
经检验，x = 60是所列方程的解且符合题意，
∴x + 30 = 90。
答:甲种图书每本的进价为90元，乙种图书每本的进价为60元。
(2)设购进甲种图书m本，则购进乙种图书(140 - m)本，
由题意，得W = 90m + 60(140 - m)=30m + 8400。
∵30＞0，
∴W随m的增大而增大。
∵甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多12本，
∴m - (140 - m)≥12，解得m≥76，
∴当m = 76时，W取得最小值，此时W = 10680，140 - m = 64。
答:购进甲种图书76本，乙种图书64本时，总费用最少，最少为10680元。
由题意，得$\frac{1350}{x + 30}$ = $\frac{900}{x}$，解得x = 60，
经检验，x = 60是所列方程的解且符合题意，
∴x + 30 = 90。
答:甲种图书每本的进价为90元，乙种图书每本的进价为60元。
(2)设购进甲种图书m本，则购进乙种图书(140 - m)本，
由题意，得W = 90m + 60(140 - m)=30m + 8400。
∵30＞0，
∴W随m的增大而增大。
∵甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多12本，
∴m - (140 - m)≥12，解得m≥76，
∴当m = 76时，W取得最小值，此时W = 10680，140 - m = 64。
答:购进甲种图书76本，乙种图书64本时，总费用最少，最少为10680元。
13. (15 分)在 $ □ ABCD $中,
(1)若 $ ∠ A = 45^{\circ} $,如图①,$ E,F $分别是边 $ AD,AB $的中点,$ AD = 3\sqrt{2} $,$ AB = 7 $,求 $ EF $的长;
(2)若 $ ∠ A = 90^{\circ} $,如图②,$ E,F $分别是边 $ AD,AB $的中点,请仅用无刻度的直尺在图②中画一个以 $ EF $为边的菱形 $ EFGH $. (不写作法,保留作图痕迹,标明字母)
(1)若 $ ∠ A = 45^{\circ} $,如图①,$ E,F $分别是边 $ AD,AB $的中点,$ AD = 3\sqrt{2} $,$ AB = 7 $,求 $ EF $的长;
(2)若 $ ∠ A = 90^{\circ} $,如图②,$ E,F $分别是边 $ AD,AB $的中点,请仅用无刻度的直尺在图②中画一个以 $ EF $为边的菱形 $ EFGH $. (不写作法,保留作图痕迹,标明字母)
答案：
13.解:(1)如答图①，过点E作EH⊥AB于点H。
∵E，F分别是边AD，AB的中点，
∴AE = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$，AF = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{7}{2}$。
在Rt△AEH中，∠A = 45°，∠AHE = 90°，
∴∠AEH = 45°，
∴AH = EH。
设AH = EH = x，
∴x² + x² = ($\frac{3\sqrt{2}}{2}$)²，
解得x = $\frac{3}{2}$(负值舍去)，
∴HF = AF - AH = 2，
∴EF = $\sqrt{EH^{2}+HF^{2}}$ = 2.5。
(2)如答图②，菱形EFGH即为所求。
13.解:(1)如答图①，过点E作EH⊥AB于点H。
∵E，F分别是边AD，AB的中点，
∴AE = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$，AF = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{7}{2}$。
在Rt△AEH中，∠A = 45°，∠AHE = 90°，
∴∠AEH = 45°，
∴AH = EH。
设AH = EH = x，
∴x² + x² = ($\frac{3\sqrt{2}}{2}$)²，
解得x = $\frac{3}{2}$(负值舍去)，
∴HF = AF - AH = 2，
∴EF = $\sqrt{EH^{2}+HF^{2}}$ = 2.5。
(2)如答图②，菱形EFGH即为所求。
14. (15 分)(2024·南京期中)点 $ E,F $分别在正方形 $ ABCD $的边 $ BC,AB $所在的直线上,点 $ M $在直线 $ DE $上,且 $ DM = EF $,$ EF ⊥ DE $,$ MN ⊥ $直线 $ BC $,垂足分别是 $ E,N $.
(1)当点 $ E $在边 $ BC $上时,如图①,求证:$ MN + BE = CD $;
(2)当点 $ E $在 $ BC $的延长线上时,如图②;当点 $ E $在 $ CB $的延长线上时,如图③,请直接写出线段 $ MN,BE,CD $之间的数量关系,不需要证明.
(1)当点 $ E $在边 $ BC $上时,如图①,求证:$ MN + BE = CD $;
(2)当点 $ E $在 $ BC $的延长线上时,如图②;当点 $ E $在 $ CB $的延长线上时,如图③,请直接写出线段 $ MN,BE,CD $之间的数量关系,不需要证明.
答案：
14.(1)证明:如答图①，过点M作MG⊥DC于点G，
∴∠MGD = 90°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C = ∠B = 90°，
∴∠1 + ∠2 = 90°。
∵∠DEF = 90°，
∴∠2 + ∠3 = 90°，
∴∠1 = ∠3。
又
∵∠MGD = ∠B = 90°，DM = EF，
∴△DGM≌△EBF(AAS)，
∴DG = EB。
∵MG⊥DC，MN⊥BC，∠C = 90°，
∴∠MGC = ∠MNC = ∠C = 90°，
∴四边形GMNC是矩形，
∴MN = GC，
∴MN + BE = GC + DG = CD。
(2)解:当点E在BC的延长线上时，如答图②，
过点M作MG⊥DC交DC的延长线于点G，
则四边形MNCG是矩形，
∴MN = CG。
∵∠DCE = 90°，∠DEF = 90°，
∴∠1 + ∠2 = 90°，∠2 + ∠3 = 90°，
∴∠1 = ∠3。
∵∠DGM = ∠EBF = 90°，DM = EF，
∴△DGM≌△EBF(AAS)，
∴DG = EB。
∵DG = DC + CG，
∴EB = DC + MN。
当点E在CB的延长线上时，如答图③，
过点D作DG⊥MN于点G，
则四边形GDCN是矩形，
∴DC = GN。
∵∠N = 90°，
∴∠1 + ∠2 = 90°。
∵∠MEF = 90°，
∴∠2 + ∠3 = 90°，
∴∠1 = ∠3。
∵∠MGD = ∠EBF = 90°，MD = EF，
∴△MGD≌△EBF(AAS)，
∴MG = EB。
∵MN = MG + GN，
∴MN = BE + DC。
14.(1)证明:如答图①，过点M作MG⊥DC于点G，
∴∠MGD = 90°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C = ∠B = 90°，
∴∠1 + ∠2 = 90°。
∵∠DEF = 90°，
∴∠2 + ∠3 = 90°，
∴∠1 = ∠3。
又
∵∠MGD = ∠B = 90°，DM = EF，
∴△DGM≌△EBF(AAS)，
∴DG = EB。
∵MG⊥DC，MN⊥BC，∠C = 90°，
∴∠MGC = ∠MNC = ∠C = 90°，
∴四边形GMNC是矩形，
∴MN = GC，
∴MN + BE = GC + DG = CD。
(2)解:当点E在BC的延长线上时，如答图②，
过点M作MG⊥DC交DC的延长线于点G，
则四边形MNCG是矩形，
∴MN = CG。
∵∠DCE = 90°，∠DEF = 90°，
∴∠1 + ∠2 = 90°，∠2 + ∠3 = 90°，
∴∠1 = ∠3。
∵∠DGM = ∠EBF = 90°，DM = EF，
∴△DGM≌△EBF(AAS)，
∴DG = EB。
∵DG = DC + CG，
∴EB = DC + MN。
当点E在CB的延长线上时，如答图③，
过点D作DG⊥MN于点G，
则四边形GDCN是矩形，
∴DC = GN。
∵∠N = 90°，
∴∠1 + ∠2 = 90°。
∵∠MEF = 90°，
∴∠2 + ∠3 = 90°，
∴∠1 = ∠3。
∵∠MGD = ∠EBF = 90°，MD = EF，
∴△MGD≌△EBF(AAS)，
∴MG = EB。
∵MN = MG + GN，
∴MN = BE + DC。