三、解答题(共 50 分)
11. (10 分)计算:
(1) $ \sqrt{18} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} + \sqrt{\dfrac{4}{3}} × \dfrac{6}{\sqrt{3}} $;
(2) $ \dfrac{2}{a - 1} - \dfrac{a + 1}{a^{2} - 2a + 1} - \dfrac{a + 1}{a - 1} $.
11. (10 分)计算:
(1) $ \sqrt{18} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} + \sqrt{\dfrac{4}{3}} × \dfrac{6}{\sqrt{3}} $;
(2) $ \dfrac{2}{a - 1} - \dfrac{a + 1}{a^{2} - 2a + 1} - \dfrac{a + 1}{a - 1} $.
答案：11. 解：(1) 原式 $= 3\sqrt{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{2\sqrt{3}}{3} × 2\sqrt{3} = 3\sqrt{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 4 = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} + 4$。
(2) 原式 $= \dfrac{2a - 2}{(a - 1)^2} - \dfrac{a + 1}{(a - 1)^2} - \dfrac{a^2 - 1}{(a - 1)^2} = \dfrac{2a - 2 - a - 1 - a^2 + 1}{(a - 1)^2} = \dfrac{-a^2 + a - 2}{a^2 - 2a + 1}$。
(2) 原式 $= \dfrac{2a - 2}{(a - 1)^2} - \dfrac{a + 1}{(a - 1)^2} - \dfrac{a^2 - 1}{(a - 1)^2} = \dfrac{2a - 2 - a - 1 - a^2 + 1}{(a - 1)^2} = \dfrac{-a^2 + a - 2}{a^2 - 2a + 1}$。
12. (10 分)如图,在 $ △ ABC $ 中,$ E $, $ F $ 分别是 $ AB $, $ BC $ 的中点,连接 $ AF $,过点 $ C $ 作 $ CD // FA $ 交 $ EF $ 的延长线于点 $ D $,连接 $ BD $.
(1)求证:$ CD = AF $;
(2)若 $ ∠ EFB = 90^{\circ} $,$ EF = 1 $,$ BF = 3 $,求 $ CD $ 的长.
(1)求证:$ CD = AF $;
(2)若 $ ∠ EFB = 90^{\circ} $,$ EF = 1 $,$ BF = 3 $,求 $ CD $ 的长.
答案：12. (1) 证明：由题意可得 $EF$ 是 $△ ABC$ 的中位线，
$\therefore EF // AC$。
又 $\because CD // AF$，$\therefore$ 四边形 $AFDC$ 为平行四边形，
$\therefore CD = AF$。
(2) 解：$\because EF$ 是 $△ ABC$ 的中位线，
$\therefore EF // AC$，$EF = \dfrac{1}{2}AC$，
$\therefore AC = 2EF = 2 × 1 = 2$，$\therefore CF = BF = 3$。
$\because EF // AC$，$∠ EFB = 90^{\circ}$，$\therefore ∠ ACF = 90^{\circ}$。
在 $Rt△ ACF$ 中，$AF = \sqrt{AC^2 + CF^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$，
$\therefore CD = AF = \sqrt{13}$。
$\therefore EF // AC$。
又 $\because CD // AF$，$\therefore$ 四边形 $AFDC$ 为平行四边形，
$\therefore CD = AF$。
(2) 解：$\because EF$ 是 $△ ABC$ 的中位线，
$\therefore EF // AC$，$EF = \dfrac{1}{2}AC$，
$\therefore AC = 2EF = 2 × 1 = 2$，$\therefore CF = BF = 3$。
$\because EF // AC$，$∠ EFB = 90^{\circ}$，$\therefore ∠ ACF = 90^{\circ}$。
在 $Rt△ ACF$ 中，$AF = \sqrt{AC^2 + CF^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$，
$\therefore CD = AF = \sqrt{13}$。
13. (15 分)尺规作图问题:
如图①,$ E $ 是 $ □ ABCD $ 的边 $ AD $ 上一点(不包含点 $ A $, $ D $),连接 $ CE $. 用尺规作 $ AF // CE $, $ F $ 是边 $ BC $ 上一点.
小明:如图②,以点 $ C $ 为圆心,$ AE $ 的长为半径作弧,交 $ BC $ 于点 $ F $,连接 $ AF $,则 $ AF // CE $.
小丽:以点 $ A $ 为圆心,$ CE $ 的长为半径作弧,交 $ BC $ 于点 $ F $,连接 $ AF $,则 $ AF // CE $.
小明:小丽,你的作法有问题.
小丽:哦…我明白了!
(1)请结合小明的作法证明 $ AF // CE $;
(2)指出小丽作法中存在的问题.
如图①,$ E $ 是 $ □ ABCD $ 的边 $ AD $ 上一点(不包含点 $ A $, $ D $),连接 $ CE $. 用尺规作 $ AF // CE $, $ F $ 是边 $ BC $ 上一点.
小明:如图②,以点 $ C $ 为圆心,$ AE $ 的长为半径作弧,交 $ BC $ 于点 $ F $,连接 $ AF $,则 $ AF // CE $.
小丽:以点 $ A $ 为圆心,$ CE $ 的长为半径作弧,交 $ BC $ 于点 $ F $,连接 $ AF $,则 $ AF // CE $.
小明:小丽,你的作法有问题.
小丽:哦…我明白了!
(1)请结合小明的作法证明 $ AF // CE $;
(2)指出小丽作法中存在的问题.
答案：13. (1) 证明：根据小明的作法可知 $CF = AE$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD // BC$，即 $AE // CF$。
又 $AE = CF$，
$\therefore$ 四边形 $AFCE$ 是平行四边形，$\therefore AF // CE$。
(2) 解：以点 $A$ 为圆心，$CE$ 的长为半径作弧，交 $BC$ 于点 $F$，此时会有两个交点，只有其中之一符合题意，故小红的作法有问题。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD // BC$，即 $AE // CF$。
又 $AE = CF$，
$\therefore$ 四边形 $AFCE$ 是平行四边形，$\therefore AF // CE$。
(2) 解：以点 $A$ 为圆心，$CE$ 的长为半径作弧，交 $BC$ 于点 $F$，此时会有两个交点，只有其中之一符合题意，故小红的作法有问题。
14. (15 分)如图,在正方形 $ ABCD $ 中,$ F $ 是射线 $ DC $ 上的一个动点(不与点 $ C $, $ D $ 重合). 连接 $ AF $ 并延长,交直线 $ BC $ 于点 $ E $,交 $ BD $ 于点 $ H $,连接 $ CH $,过点 $ C $ 作 $ CG ⊥ HC $,交 $ AE $ 于点 $ G $.
(1)若点 $ F $ 在边 $ CD $ 上.
①求证:$ ∠ DAH = ∠ DCH $;
②猜想 $ △ GFC $ 的形状并说明理由.
(2)取 $ DF $ 的中点 $ M $,连接 $ MG $. 若 $ MG = 2.5 $,正方形的边长为 4,求 $ BE $ 的长.
(1)若点 $ F $ 在边 $ CD $ 上.
①求证:$ ∠ DAH = ∠ DCH $;
②猜想 $ △ GFC $ 的形状并说明理由.
(2)取 $ DF $ 的中点 $ M $,连接 $ MG $. 若 $ MG = 2.5 $,正方形的边长为 4,求 $ BE $ 的长.
答案：
14. (1) ① 证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
$\therefore ∠ ADB = ∠ CDB = 45^{\circ}$，$DA = DC$。
在 $△ DAH$ 和 $△ DCH$ 中，$\begin{cases} DA = DC \\ ∠ ADH = ∠ CDH \\ DH = DH \end{cases}$，
$\therefore △ DAH ≌ △ DCH$，
$\therefore ∠ DAH = ∠ DCH$。
② 解：$△ GFC$ 是等腰三角形。
理由：$\because CG ⊥ HC$，$\therefore ∠ FCG + ∠ DCH = 90^{\circ}$。
又由①知 $∠ DAH = ∠ DCH$，
$\therefore ∠ FCG + ∠ DAF = 90^{\circ}$。
$\because ∠ DFA + ∠ DAF = 90^{\circ}$，$∠ DFA = ∠ CFG$，
$\therefore ∠ CFG = ∠ FCG$，
$\therefore GF = GC$，$\therefore △ GFC$ 是等腰三角形。
(2) 解：如答图①，当点 $F$ 在线段 $CD$ 上时，连接 $DE$。
$\because ∠ GFC = ∠ GCF$，$∠ GEC + ∠ GFC = 90^{\circ}$，
$∠ GCF + ∠ GCE = 90^{\circ}$，
$\therefore ∠ GCE = ∠ GEC$，$\therefore EG = GC = FG$。
$\because FM = MD$，$\therefore DE = 2MG = 5$。
在 $Rt△ DCE$ 中，$CE = \sqrt{DE^2 - DC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$，
$\therefore BE = BC + CE = 4 + 3 = 7$。
如答图②，当点 $F$ 在线段 $DC$ 的延长线上时，连接 $DE$。
同理可知 $GM$ 是 $△ DEF$ 的中位线，
$\therefore DE = 2GM = 5$。
在 $Rt△ DCE$ 中，$CE = \sqrt{DE^2 - DC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$，
$\therefore BE = BC - CE = 4 - 3 = 1$。
综上所述，$BE$ 的长为 $7$ 或 $1$。
14. (1) ① 证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
$\therefore ∠ ADB = ∠ CDB = 45^{\circ}$，$DA = DC$。
在 $△ DAH$ 和 $△ DCH$ 中，$\begin{cases} DA = DC \\ ∠ ADH = ∠ CDH \\ DH = DH \end{cases}$，
$\therefore △ DAH ≌ △ DCH$，
$\therefore ∠ DAH = ∠ DCH$。
② 解：$△ GFC$ 是等腰三角形。
理由：$\because CG ⊥ HC$，$\therefore ∠ FCG + ∠ DCH = 90^{\circ}$。
又由①知 $∠ DAH = ∠ DCH$，
$\therefore ∠ FCG + ∠ DAF = 90^{\circ}$。
$\because ∠ DFA + ∠ DAF = 90^{\circ}$，$∠ DFA = ∠ CFG$，
$\therefore ∠ CFG = ∠ FCG$，
$\therefore GF = GC$，$\therefore △ GFC$ 是等腰三角形。
(2) 解：如答图①，当点 $F$ 在线段 $CD$ 上时，连接 $DE$。
$\because ∠ GFC = ∠ GCF$，$∠ GEC + ∠ GFC = 90^{\circ}$，
$∠ GCF + ∠ GCE = 90^{\circ}$，
$\therefore ∠ GCE = ∠ GEC$，$\therefore EG = GC = FG$。
$\because FM = MD$，$\therefore DE = 2MG = 5$。
在 $Rt△ DCE$ 中，$CE = \sqrt{DE^2 - DC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$，
$\therefore BE = BC + CE = 4 + 3 = 7$。
如答图②，当点 $F$ 在线段 $DC$ 的延长线上时，连接 $DE$。
同理可知 $GM$ 是 $△ DEF$ 的中位线，
$\therefore DE = 2GM = 5$。
在 $Rt△ DCE$ 中，$CE = \sqrt{DE^2 - DC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$，
$\therefore BE = BC - CE = 4 - 3 = 1$。
综上所述，$BE$ 的长为 $7$ 或 $1$。