22. （10分）商场经营的某种碳中和宣传装置，4月的销售额为20000元，为扩大销量，5月份商场对这种宣传装置打9折销售，结果销量增加了50件，销售额增加了7000元。
（1）求该碳中和宣传装置4月份的销售单价；
（2）若4月份销售这种碳中和宣传装置获利8000元，由于6月5日是世界环境日，6月全月商场决定进行促销活动。碳中和宣传装置在4月售价的基础上一律打8折销售，若该宣传装置的成本不变，则销量至少为多少件，才能保证6月的利润比4月的利润至少增长25%？
（1）求该碳中和宣传装置4月份的销售单价；
（2）若4月份销售这种碳中和宣传装置获利8000元，由于6月5日是世界环境日，6月全月商场决定进行促销活动。碳中和宣传装置在4月售价的基础上一律打8折销售，若该宣传装置的成本不变，则销量至少为多少件，才能保证6月的利润比4月的利润至少增长25%？
答案：22. 解：(1) 设该碳中和宣传装置 4 月份的销售单价为 $ x $ 元
由题意，得 $ \frac { 20000 + 7000 } { 0.9 x } - \frac { 20000 } { x } = 50 $
解得 $ x = 200 $
经检验，$ x = 200 $ 是所列方程的解，且符合题意
答：该碳中和宣传装置 4 月份的销售单价为 200 元
(2) 4 月份碳中和宣传装置的销量为 $ \frac { 20000 } { 200 } = 100 $（件）
则每件碳中和宣传装置的成本为 $ \frac { 20000 - 8000 } { 100 } = 120 $（元）
设 6 月份碳中和宣传装置的销量为 $ y $ 件
由题意，得 $ 200 × 0.8 y - 120 y ≥ 8000 × ( 1 + 25 \% ) $
解得 $ y ≥ 250 $
答：销量至少为 250 件，才能保证 6 月的利润比 4 月的利润至少增长 $ 25 \% $
由题意，得 $ \frac { 20000 + 7000 } { 0.9 x } - \frac { 20000 } { x } = 50 $
解得 $ x = 200 $
经检验，$ x = 200 $ 是所列方程的解，且符合题意
答：该碳中和宣传装置 4 月份的销售单价为 200 元
(2) 4 月份碳中和宣传装置的销量为 $ \frac { 20000 } { 200 } = 100 $（件）
则每件碳中和宣传装置的成本为 $ \frac { 20000 - 8000 } { 100 } = 120 $（元）
设 6 月份碳中和宣传装置的销量为 $ y $ 件
由题意，得 $ 200 × 0.8 y - 120 y ≥ 8000 × ( 1 + 25 \% ) $
解得 $ y ≥ 250 $
答：销量至少为 250 件，才能保证 6 月的利润比 4 月的利润至少增长 $ 25 \% $
23. （10分）已知关于x的方程$mx^2+(m-3)x-3=0(m≠0)$。
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果m为正整数，且方程的两个根均为整数，求m的值。
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果m为正整数，且方程的两个根均为整数，求m的值。
答案：23. (1) 证明：$ \because m ≠ 0 $
$ \therefore $ 方程 $ m x ^ { 2 } + ( m - 3 ) x - 3 = 0 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程
$ \therefore b ^ { 2 } - 4 a c = ( m - 3 ) ^ { 2 } - 4 m · ( - 3 ) = ( m + 3 ) ^ { 2 } $
$ \because ( m + 3 ) ^ { 2 } ≥ 0 $
$ \therefore $ 方程总有两个实数根
(2) 解：$ \because x = \frac { - ( m - 3 ) \pm ( m + 3 ) } { 2 m } $，$ \therefore x _ { 1 } = \frac { 3 } { m } $，$ x _ { 2 } = - 1 $
$ \because m $ 为正整数，且方程的两个根均为整数，$ \therefore m = 1 $ 或 $ m = 3 $
$ \therefore $ 方程 $ m x ^ { 2 } + ( m - 3 ) x - 3 = 0 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程
$ \therefore b ^ { 2 } - 4 a c = ( m - 3 ) ^ { 2 } - 4 m · ( - 3 ) = ( m + 3 ) ^ { 2 } $
$ \because ( m + 3 ) ^ { 2 } ≥ 0 $
$ \therefore $ 方程总有两个实数根
(2) 解：$ \because x = \frac { - ( m - 3 ) \pm ( m + 3 ) } { 2 m } $，$ \therefore x _ { 1 } = \frac { 3 } { m } $，$ x _ { 2 } = - 1 $
$ \because m $ 为正整数，且方程的两个根均为整数，$ \therefore m = 1 $ 或 $ m = 3 $