24. （10分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，$CE// DB$，交AB的延长线于点E。
（1）求证：$AC=EC$；
（2）若$∠ AOD=120^{\circ}$，$AB=2.5$cm。求矩形的面积。
（1）求证：$AC=EC$；
（2）若$∠ AOD=120^{\circ}$，$AB=2.5$cm。求矩形的面积。
答案：24. (1) 证明：在矩形 $ A B C D $ 中，$ A B // C D $
$ \because C E // D B $，$ \therefore $ 四边形 $ D C E B $ 是平行四边形
$ \therefore B D = C E $
$ \because A C = B D $，$ \therefore A C = C E $
(2) 解：$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是矩形
$ \therefore ∠ B A D = 90 ^ { \circ } $，$ A O = \frac { 1 } { 2 } A C $，$ O D = \frac { 1 } { 2 } B D $，$ A C = B D $
$ \therefore A O = O D $
$ \because ∠ A O D = 120 ^ { \circ } $
$ \therefore ∠ A D O = \frac { 1 } { 2 } × ( 180 ^ { \circ } - 120 ^ { \circ } ) = 30 ^ { \circ } $
$ \therefore B D = 2 A B = 5 \mathrm { cm } $
$ \therefore A D = \sqrt { B D ^ { 2 } - A B ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 2 } \sqrt { 3 } \mathrm { cm } $
$ \therefore $ 矩形的面积为 $ A D · A B = \frac { 5 } { 2 } \sqrt { 3 } × \frac { 5 } { 2 } = \frac { 25 } { 4 } \sqrt { 3 } ( \mathrm { cm } ^ { 2 } ) $
$ \because C E // D B $，$ \therefore $ 四边形 $ D C E B $ 是平行四边形
$ \therefore B D = C E $
$ \because A C = B D $，$ \therefore A C = C E $
(2) 解：$ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是矩形
$ \therefore ∠ B A D = 90 ^ { \circ } $，$ A O = \frac { 1 } { 2 } A C $，$ O D = \frac { 1 } { 2 } B D $，$ A C = B D $
$ \therefore A O = O D $
$ \because ∠ A O D = 120 ^ { \circ } $
$ \therefore ∠ A D O = \frac { 1 } { 2 } × ( 180 ^ { \circ } - 120 ^ { \circ } ) = 30 ^ { \circ } $
$ \therefore B D = 2 A B = 5 \mathrm { cm } $
$ \therefore A D = \sqrt { B D ^ { 2 } - A B ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 2 } \sqrt { 3 } \mathrm { cm } $
$ \therefore $ 矩形的面积为 $ A D · A B = \frac { 5 } { 2 } \sqrt { 3 } × \frac { 5 } { 2 } = \frac { 25 } { 4 } \sqrt { 3 } ( \mathrm { cm } ^ { 2 } ) $
25. (10分)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点$A(0,8)$，$C(6,0)$。动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC方向匀速运动，设运动时间为t s。
(1)当$t=$
(2)当点P在OB的垂直平分线上时，求t的值；
(3)已知D为x轴上的一点，若点B，D关于直线OP对称，求t的值。
(1)当$t=$
16
时，以OB，OP为邻边的平行四边形是菱形；(2)当点P在OB的垂直平分线上时，求t的值；
(3)已知D为x轴上的一点，若点B，D关于直线OP对称，求t的值。
答案：
25. (1) 16
(2) 解：$ \because $ 点 $ P $ 在 $ O B $ 的垂直平分线上
$ \therefore P O = P B = t $，$ \therefore P C = B C - P B = 8 - t $
在 $ \mathrm { Rt } △ P O C $ 中，$ O C = 6 $
根据勾股定理，得 $ O C ^ { 2 } + P C ^ { 2 } = O P ^ { 2 } $
$ \therefore 6 ^ { 2 } + ( 8 - t ) ^ { 2 } = t ^ { 2 } $，解得 $ t = \frac { 25 } { 4 } $
(3) 解：当点 $ P $ 在 $ x $ 轴正半轴上时，如答图①
由对称，知 $ △ O B P ≌ △ O D P $
$ \therefore P D = P B = t $，$ O D = O B = \sqrt { 6 ^ { 2 } + 8 ^ { 2 } } = 10 $
$ \therefore C D = O D - O C = 4 $，在 $ \mathrm { Rt } △ P C D $ 中，$ C D = 4 $
$ P C = B C - P B = 8 - t $，$ P D = t $
根据勾股定理，得 $ P C ^ { 2 } + C D ^ { 2 } = P D ^ { 2 } $
即 $ ( 8 - t ) ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } = t ^ { 2 } $，解得 $ t = 5 $
当点 $ P $ 在 $ x $ 轴负半轴上时，如答图②
由对称，知 $ P B = P D = t $，$ O D = O B = 10 $
$ \therefore C D = O D + O C = 16 $，$ P C = t - 8 $
在 $ \mathrm { Rt } △ P C D $ 中，根据勾股定理，得
$ P C ^ { 2 } + C D ^ { 2 } = P D ^ { 2 } $，即 $ ( t - 8 ) ^ { 2 } + 16 ^ { 2 } = t ^ { 2 } $
解得 $ t = 20 $
综上所述，$ t $ 的值为 5 或 20
25. (1) 16
(2) 解：$ \because $ 点 $ P $ 在 $ O B $ 的垂直平分线上
$ \therefore P O = P B = t $，$ \therefore P C = B C - P B = 8 - t $
在 $ \mathrm { Rt } △ P O C $ 中，$ O C = 6 $
根据勾股定理，得 $ O C ^ { 2 } + P C ^ { 2 } = O P ^ { 2 } $
$ \therefore 6 ^ { 2 } + ( 8 - t ) ^ { 2 } = t ^ { 2 } $，解得 $ t = \frac { 25 } { 4 } $
(3) 解：当点 $ P $ 在 $ x $ 轴正半轴上时，如答图①
由对称，知 $ △ O B P ≌ △ O D P $
$ \therefore P D = P B = t $，$ O D = O B = \sqrt { 6 ^ { 2 } + 8 ^ { 2 } } = 10 $
$ \therefore C D = O D - O C = 4 $，在 $ \mathrm { Rt } △ P C D $ 中，$ C D = 4 $
$ P C = B C - P B = 8 - t $，$ P D = t $
根据勾股定理，得 $ P C ^ { 2 } + C D ^ { 2 } = P D ^ { 2 } $
即 $ ( 8 - t ) ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } = t ^ { 2 } $，解得 $ t = 5 $
当点 $ P $ 在 $ x $ 轴负半轴上时，如答图②
由对称，知 $ P B = P D = t $，$ O D = O B = 10 $
$ \therefore C D = O D + O C = 16 $，$ P C = t - 8 $
在 $ \mathrm { Rt } △ P C D $ 中，根据勾股定理，得
$ P C ^ { 2 } + C D ^ { 2 } = P D ^ { 2 } $，即 $ ( t - 8 ) ^ { 2 } + 16 ^ { 2 } = t ^ { 2 } $
解得 $ t = 20 $
综上所述，$ t $ 的值为 5 或 20