6. 如图甲所示，底面积 $ S $ 为 $ 25\mathrm{cm}^{2} $ 的圆柱形平底容器内装有适量的未知液体，将容器放入水中处于直立漂浮状态，容器下表面所处深度 $ h_{1} = 10\mathrm{cm} $；如图乙所示，从容器中取出 $ 100\mathrm{cm}^{3} $ 的液体后，容器下表面所处深度 $ h_{2} = 6.4\mathrm{cm} $，$ \rho_{\mathrm{水}} = 1.0 × 10^{3}\mathrm{kg/m}^{3} $，$ g $ 取 $ 10\mathrm{N/kg} $. 求：
(1) 图甲中容器受到的浮力.
(2) 未知液体的密度.
(1) 图甲中容器受到的浮力.
(2) 未知液体的密度.
答案：解：(1)图甲中容器排开水的体积
$V_{排}=Sh_{1}=25cm^{2}×10cm=250cm^{3}=2.5×10^{-4}m^{3}$，
容器受到水的浮力
$F_{浮}=ρ_{水}gV_{排}=1.0×10^{3}kg/m^{3}×10N/kg×2.5×10^{-4}m^{3}=2.5N$。
(2)从容器中取出$100cm^{3}$的液体后，容器下表面所处的深度$h_{2}=6.4cm=0.064m$，
容器减少的浮力
$\Delta F_{浮}=ρ_{水}g\Delta V_{排}=ρ_{水}gS(h_{1}-h_{2})=1.0×10^{3}kg/m^{3}×10N/kg×2.5×10^{-3}m^{2}×(0.1-0.064)m=0.9N$，
容器漂浮时，所受的浮力等于容器的重力，则减少液体的重力等于减少的浮力，即$G_{液减}=\Delta F_{浮}=0.9N$，
根据$G=mg$知，从容器中取出液体的质量
$m=\frac {G_{液减}}{g}=\frac {0.9N}{10N/kg}=0.09kg=90g$，
未知液体的密度
$ρ=\frac {m}{V}=\frac {90g}{100cm^{3}}=0.9g/cm^{3}=0.9×10^{3}kg/m^{3}$。
$V_{排}=Sh_{1}=25cm^{2}×10cm=250cm^{3}=2.5×10^{-4}m^{3}$，
容器受到水的浮力
$F_{浮}=ρ_{水}gV_{排}=1.0×10^{3}kg/m^{3}×10N/kg×2.5×10^{-4}m^{3}=2.5N$。
(2)从容器中取出$100cm^{3}$的液体后，容器下表面所处的深度$h_{2}=6.4cm=0.064m$，
容器减少的浮力
$\Delta F_{浮}=ρ_{水}g\Delta V_{排}=ρ_{水}gS(h_{1}-h_{2})=1.0×10^{3}kg/m^{3}×10N/kg×2.5×10^{-3}m^{2}×(0.1-0.064)m=0.9N$，
容器漂浮时，所受的浮力等于容器的重力，则减少液体的重力等于减少的浮力，即$G_{液减}=\Delta F_{浮}=0.9N$，
根据$G=mg$知，从容器中取出液体的质量
$m=\frac {G_{液减}}{g}=\frac {0.9N}{10N/kg}=0.09kg=90g$，
未知液体的密度
$ρ=\frac {m}{V}=\frac {90g}{100cm^{3}}=0.9g/cm^{3}=0.9×10^{3}kg/m^{3}$。
7. 棱长为 $ 10\mathrm{cm} $ 的正方体物块放入圆柱形容器底部，如图甲所示，然后逐渐向容器内注水（倒入水，但水未溢出），在此过程中，分别测量容器内水的深度 $ h $ 和计算该物块对应深度下受到的浮力 $ F_{\mathrm{浮}} $，由此绘制了如图乙（实线部分）所示的图像. 求：（$ g $ 取 $ 10\mathrm{N/kg} $）
(1) 物块的密度.
(2) 换用一种密度为 $ 0.6 × 10^{3}\mathrm{kg/m}^{3} $ 的液体重复上述实验，当 $ h = 6\mathrm{cm} $ 时，物块所受的浮力.
(3) 当 $ h = 12\mathrm{cm} $ 时，物块在水和液体中都处于静止状态时受到的浮力之比.
(1) 物块的密度.
(2) 换用一种密度为 $ 0.6 × 10^{3}\mathrm{kg/m}^{3} $ 的液体重复上述实验，当 $ h = 6\mathrm{cm} $ 时，物块所受的浮力.
(3) 当 $ h = 12\mathrm{cm} $ 时，物块在水和液体中都处于静止状态时受到的浮力之比.
答案：解：(1)由题图乙可知，当容器内水的深度h等于或大于8cm时，正方体物块受到的浮力不再变化，而正方体物块的棱长为10cm，所以可判断水的深度$h≥8cm$时，物块处于漂浮状态，则$G=F_{浮}=8N$，
根据$G=mg$和$ρ=\frac {m}{V}$可得$G=ρVg$，
则物块的密度
$ρ_{物}=\frac {G}{Vg}=\frac {8N}{(0.1m)^{3}×10N/kg}=0.8×10^{3}kg/m^{3}$。
(2)换用一种密度为$0.6×10^{3}kg/m^{3}$的液体重复上述实验，因为$ρ_{物}＞ρ_{液}$，所以物块下沉，
当$h=6cm$时，物块所受的浮力
$F_{浮}'=ρ_{液}gV_{排}=ρ_{液}gSh'=0.6×10^{3}kg/m^{3}×10N/kg×(0.1m)^{2}×0.06m=3.6N$。
(3)当水的深度$h=12cm$时，物块在水中漂浮，$F_{浮水}=G=8N$；
当$h=12cm$时，物块在液体中沉底，且被浸没，
物块受到该液体的浮力
$F_{浮液}=ρ_{液}gV_{排}'=0.6×10^{3}kg/m^{3}×10N/kg×(0.1m)^{3}=6N$，
所以，$F_{浮水}:F_{浮液}=8N:6N=4:3$。
根据$G=mg$和$ρ=\frac {m}{V}$可得$G=ρVg$，
则物块的密度
$ρ_{物}=\frac {G}{Vg}=\frac {8N}{(0.1m)^{3}×10N/kg}=0.8×10^{3}kg/m^{3}$。
(2)换用一种密度为$0.6×10^{3}kg/m^{3}$的液体重复上述实验，因为$ρ_{物}＞ρ_{液}$，所以物块下沉，
当$h=6cm$时，物块所受的浮力
$F_{浮}'=ρ_{液}gV_{排}=ρ_{液}gSh'=0.6×10^{3}kg/m^{3}×10N/kg×(0.1m)^{2}×0.06m=3.6N$。
(3)当水的深度$h=12cm$时，物块在水中漂浮，$F_{浮水}=G=8N$；
当$h=12cm$时，物块在液体中沉底，且被浸没，
物块受到该液体的浮力
$F_{浮液}=ρ_{液}gV_{排}'=0.6×10^{3}kg/m^{3}×10N/kg×(0.1m)^{3}=6N$，
所以，$F_{浮水}:F_{浮液}=8N:6N=4:3$。
8. 质量相等的甲、乙两实心小球，密度之比 $ \rho_{1} : \rho_{2} = 3 : 2 $，将它们分别放入水中静止时，两球所受的浮力之比 $ F_{1} : F_{2} = 4 : 5 $，则甲球的密度为多大？
答案：解：由题知，$m_{1}=m_{2}$，
因为$ρ=\frac {m}{V},ρ_{1}:ρ_{2}=3:2$，所以$V_{1}:V_{2}=2:3$。
两球在水中静止时的状态有下面几种情况：
①甲、乙都下沉：如果是这样，排开水的体积之比为$V_{1}:V_{2}=2:3$，由阿基米德原理可知受到的浮力之比也是$2:3$，而$F_{1}:F_{2}=4:5$，故①不可行；
②甲、乙都漂浮：受到的浮力都等于自身重力，而两球的质量相等，重力相等，则所受的浮力相等，而$F_{1}:F_{2}=4:5$，故②不可行；
③甲漂浮，乙下沉：甲漂浮，$F_{1}=G_{1}=mg$；乙下沉，$F_{2}＜G_{2}=mg$，所以$F_{1}＞F_{2}$，而$F_{1}:F_{2}=4:5$，故③不可行；
④甲下沉，乙漂浮：甲下沉，$F_{1}＜G_{1}=mg$；乙漂浮，$F_{2}=G_{2}=mg$，所以$F_{1}＜F_{2}$，因$F_{1}:F_{2}=4:5$，故④可行。
甲下沉，受到的浮力$F_{1}=ρ_{水}V_{1}g$；乙漂浮，受到的浮力$F_{2}=mg=ρ_{2}V_{2}g$；
因为$F_{1}:F_{2}=4:5$，所以$ρ_{水}V_{1}g:ρ_{2}V_{2}g=4:5$，
$ρ_{2}=\frac {5ρ_{水}V_{1}}{4V_{2}}=\frac {5ρ_{水}×2}{4×3}=\frac {5}{6}ρ_{水}$。
因为$ρ_{1}:ρ_{2}=3:2$，所以$ρ_{1}=\frac {5}{4}ρ_{水}=1.25×10^{3}kg/m^{3}$。
因为$ρ=\frac {m}{V},ρ_{1}:ρ_{2}=3:2$，所以$V_{1}:V_{2}=2:3$。
两球在水中静止时的状态有下面几种情况：
①甲、乙都下沉：如果是这样，排开水的体积之比为$V_{1}:V_{2}=2:3$，由阿基米德原理可知受到的浮力之比也是$2:3$，而$F_{1}:F_{2}=4:5$，故①不可行；
②甲、乙都漂浮：受到的浮力都等于自身重力，而两球的质量相等，重力相等，则所受的浮力相等，而$F_{1}:F_{2}=4:5$，故②不可行；
③甲漂浮，乙下沉：甲漂浮，$F_{1}=G_{1}=mg$；乙下沉，$F_{2}＜G_{2}=mg$，所以$F_{1}＞F_{2}$，而$F_{1}:F_{2}=4:5$，故③不可行；
④甲下沉，乙漂浮：甲下沉，$F_{1}＜G_{1}=mg$；乙漂浮，$F_{2}=G_{2}=mg$，所以$F_{1}＜F_{2}$，因$F_{1}:F_{2}=4:5$，故④可行。
甲下沉，受到的浮力$F_{1}=ρ_{水}V_{1}g$；乙漂浮，受到的浮力$F_{2}=mg=ρ_{2}V_{2}g$；
因为$F_{1}:F_{2}=4:5$，所以$ρ_{水}V_{1}g:ρ_{2}V_{2}g=4:5$，
$ρ_{2}=\frac {5ρ_{水}V_{1}}{4V_{2}}=\frac {5ρ_{水}×2}{4×3}=\frac {5}{6}ρ_{水}$。
因为$ρ_{1}:ρ_{2}=3:2$，所以$ρ_{1}=\frac {5}{4}ρ_{水}=1.25×10^{3}kg/m^{3}$。