五、物体的浮与沉
1. (2025·苏州)用柱形水槽、柱形塑料杯(含配重)、质量已知的砝码和水,可制作测量物体质量的装置.使用时,在竖直漂浮的塑料杯中放入待测物体,杯子仍竖直漂浮,根据制作好的标尺便可读出待测物体的质量.制作标尺时,通过在杯中放入砝码进行质量标注(杯子竖直漂浮).如图所示,标注的方式有三种:
①在水槽外壁,用水面高度$h_{1}$的变化标注;
②在塑料杯内壁,用杯子浸入水中的深度$h_{2}$的变化标注;
③在水槽外壁,用杯底所装指针离槽底的高度$h_{3}$的变化标注.
若水槽和塑料杯的底面积分别为$225cm^{2}$和$85cm^{2}$,三种标尺上相同距离的刻线间对应的物体质量变化分别为$\Delta m_{1}$、$\Delta m_{2}$和$\Delta m_{3}$.则(
A.$\Delta m_{1}＞\Delta m_{2}＞\Delta m_{3}$
B.$\Delta m_{2}＞\Delta m_{1}=\Delta m_{3}$
C.$\Delta m_{1}＞\Delta m_{3}＞\Delta m_{2}$
D.$\Delta m_{3}＞\Delta m_{1}＞\Delta m_{2}$
1. (2025·苏州)用柱形水槽、柱形塑料杯(含配重)、质量已知的砝码和水,可制作测量物体质量的装置.使用时,在竖直漂浮的塑料杯中放入待测物体,杯子仍竖直漂浮,根据制作好的标尺便可读出待测物体的质量.制作标尺时,通过在杯中放入砝码进行质量标注(杯子竖直漂浮).如图所示,标注的方式有三种:
①在水槽外壁,用水面高度$h_{1}$的变化标注;
②在塑料杯内壁,用杯子浸入水中的深度$h_{2}$的变化标注;
③在水槽外壁,用杯底所装指针离槽底的高度$h_{3}$的变化标注.
若水槽和塑料杯的底面积分别为$225cm^{2}$和$85cm^{2}$,三种标尺上相同距离的刻线间对应的物体质量变化分别为$\Delta m_{1}$、$\Delta m_{2}$和$\Delta m_{3}$.则(
C
)A.$\Delta m_{1}＞\Delta m_{2}＞\Delta m_{3}$
B.$\Delta m_{2}＞\Delta m_{1}=\Delta m_{3}$
C.$\Delta m_{1}＞\Delta m_{3}＞\Delta m_{2}$
D.$\Delta m_{3}＞\Delta m_{1}＞\Delta m_{2}$
答案：1. C
解析：
解：设塑料杯（含配重）质量为$m_0$，放入质量为$m$的物体后，塑料杯仍漂浮。
① 标注$h_1$（水槽水面高度变化）
由漂浮条件：$\Delta F_浮 = \Delta G = mg$，即$\rho_水 g \Delta V_排 = mg$，$\Delta V_排 = \frac{m}{\rho_水}$。
水槽水面高度变化$\Delta h_1 = \frac{\Delta V_排}{S_槽} = \frac{m}{\rho_水 S_槽}$，则$m = \rho_水 S_槽 \Delta h_1$，$\Delta m_1 = \rho_水 S_槽 \Delta h$。
② 标注$h_2$（塑料杯浸入深度变化）
$\Delta V_排 = S_杯 \Delta h_2$，则$m = \rho_水 S_杯 \Delta h_2$，$\Delta m_2 = \rho_水 S_杯 \Delta h$。
③ 标注$h_3$（指针离槽底高度变化）
指针高度$h_3 = H - h_1$（$H$为水槽初始水深），$\Delta h_3 = -\Delta h_1$，$|\Delta h_3| = \Delta h_1$，故$\Delta m_3 = \Delta m_1$（推导同①）。
已知$S_槽 = 225\,\mathrm{cm}^2$，$S_杯 = 85\,\mathrm{cm}^2$，且$S_槽 ＞ S_杯$，则$\Delta m_1 = \Delta m_3 ＞ \Delta m_2$。
结论：$\Delta m_1＞\Delta m_3＞\Delta m_2$，选C。
① 标注$h_1$（水槽水面高度变化）
由漂浮条件：$\Delta F_浮 = \Delta G = mg$，即$\rho_水 g \Delta V_排 = mg$，$\Delta V_排 = \frac{m}{\rho_水}$。
水槽水面高度变化$\Delta h_1 = \frac{\Delta V_排}{S_槽} = \frac{m}{\rho_水 S_槽}$，则$m = \rho_水 S_槽 \Delta h_1$，$\Delta m_1 = \rho_水 S_槽 \Delta h$。
② 标注$h_2$（塑料杯浸入深度变化）
$\Delta V_排 = S_杯 \Delta h_2$，则$m = \rho_水 S_杯 \Delta h_2$，$\Delta m_2 = \rho_水 S_杯 \Delta h$。
③ 标注$h_3$（指针离槽底高度变化）
指针高度$h_3 = H - h_1$（$H$为水槽初始水深），$\Delta h_3 = -\Delta h_1$，$|\Delta h_3| = \Delta h_1$，故$\Delta m_3 = \Delta m_1$（推导同①）。
已知$S_槽 = 225\,\mathrm{cm}^2$，$S_杯 = 85\,\mathrm{cm}^2$，且$S_槽 ＞ S_杯$，则$\Delta m_1 = \Delta m_3 ＞ \Delta m_2$。
结论：$\Delta m_1＞\Delta m_3＞\Delta m_2$，选C。
2. 如图所示,一个小船中放有A、B、C三个小球,小船和小球一起漂浮在柱形容器的水面上,其中密度$\rho_{A}＜\rho_{水}$,$\rho_{B}=\rho_{水}$,$\rho_{C}＞\rho_{水}$,小船可以自由地漂浮在水面上,若只将A球放入水中,则液面
不变
;若只将B球放入水中,则液面不变
;若将容器中的水舀入小船中,则液面不变
;若将A、B、C三球同时从船中取出放入水中,则液面下降
.(均填"上升""下降"或"不变")答案：2. 不变 不变 不变 下降
3. 科技制作活动中,小明将金属夹夹在吸管一端使其密闭,制成简易密度计,如图所示.为了给密度计标刻度,他将密度计分别放入水和煤油中,密度计均竖直漂浮,吸管露出液面的长度为$d$.密度计在水中时$d$为$12cm$,浮力大小为$F_{1}$;在煤油中时$d$为$10cm$,浮力大小为$F_{2}$,则$F_{1}$
=
(填"＞""＜"或"=")$F_{2}$.若将密度计放入密度为$1.25g/cm^{3}$的液体中,则$d$为13.6
cm.($\rho_{水}=1.0g/cm^{3}$、$\rho_{煤油}=0.8g/cm^{3}$)答案：3. = 13.6
解析：
=；13.6
4. 某冰块中有一小金属块,冰和金属块的总质量是$61g$,将它们放在盛有水的圆柱形容器中,恰好悬浮于水中(如图甲所示).当冰全部熔化后,容器里的水面下降了$0.6cm$(如图乙所示).容器的底面积为$10cm^{2}$,冰块中冰的体积是
60
$cm^{3}$,金属块的质量是7
g,金属块的密度是7×10³
$kg/m^{3}$.(已知冰的密度$\rho_{冰}=0.9×10^{3}kg/m^{3}$)答案：4. 60 7 7×10³
解析：
解：设冰的体积为$V_{冰}$，金属块的体积为$V_{金}$，金属块的质量为$m_{金}$。
1. 求冰的体积：
冰熔化后质量不变，$m_{冰}=\rho_{冰}V_{冰}$，熔化成水的体积$V_{水}=\frac{m_{冰}}{\rho_{水}}=\frac{\rho_{冰}V_{冰}}{\rho_{水}}$。
水面下降体积$\Delta V = S\Delta h = 10cm^{2}×0.6cm = 6cm^{3}$，且$\Delta V = V_{冰}-V_{水}$。
即$V_{冰}-\frac{0.9g/cm^{3}V_{冰}}{1g/cm^{3}}=6cm^{3}$，解得$V_{冰}=60cm^{3}$。
2. 求金属块的质量：
冰的质量$m_{冰}=\rho_{冰}V_{冰}=0.9g/cm^{3}×60cm^{3}=54g$。
总质量$m_{总}=m_{冰}+m_{金}=61g$，则$m_{金}=61g - 54g=7g$。
3. 求金属块的密度：
悬浮时$F_{浮}=G_{总}$，$\rho_{水}g(V_{冰}+V_{金})=m_{总}g$。
$1g/cm^{3}×(60cm^{3}+V_{金})=61g$，解得$V_{金}=1cm^{3}$。
$\rho_{金}=\frac{m_{金}}{V_{金}}=\frac{7g}{1cm^{3}}=7g/cm^{3}=7×10^{3}kg/m^{3}$。
60；7；$7×10^{3}$
1. 求冰的体积：
冰熔化后质量不变，$m_{冰}=\rho_{冰}V_{冰}$，熔化成水的体积$V_{水}=\frac{m_{冰}}{\rho_{水}}=\frac{\rho_{冰}V_{冰}}{\rho_{水}}$。
水面下降体积$\Delta V = S\Delta h = 10cm^{2}×0.6cm = 6cm^{3}$，且$\Delta V = V_{冰}-V_{水}$。
即$V_{冰}-\frac{0.9g/cm^{3}V_{冰}}{1g/cm^{3}}=6cm^{3}$，解得$V_{冰}=60cm^{3}$。
2. 求金属块的质量：
冰的质量$m_{冰}=\rho_{冰}V_{冰}=0.9g/cm^{3}×60cm^{3}=54g$。
总质量$m_{总}=m_{冰}+m_{金}=61g$，则$m_{金}=61g - 54g=7g$。
3. 求金属块的密度：
悬浮时$F_{浮}=G_{总}$，$\rho_{水}g(V_{冰}+V_{金})=m_{总}g$。
$1g/cm^{3}×(60cm^{3}+V_{金})=61g$，解得$V_{金}=1cm^{3}$。
$\rho_{金}=\frac{m_{金}}{V_{金}}=\frac{7g}{1cm^{3}}=7g/cm^{3}=7×10^{3}kg/m^{3}$。
60；7；$7×10^{3}$