三、密度知识的应用
1. 学习了质量和密度的知识后，小明同学想用天平、烧杯、量筒和水完成下列实践课题，你认为不能完成的是(
A.测量食醋的密度
B.测量一捆铜导线的长度
C.鉴别实心金饰品的真伪
D.鉴定小铜球是空心的还是实心的
1. 学习了质量和密度的知识后，小明同学想用天平、烧杯、量筒和水完成下列实践课题，你认为不能完成的是(
B
)A.测量食醋的密度
B.测量一捆铜导线的长度
C.鉴别实心金饰品的真伪
D.鉴定小铜球是空心的还是实心的
答案：1. B
2. 甲、乙两种金属的密度分别为$\rho_{1}$、$\rho_{2}$，将它们等质量地混合在一起制成合金，所制合金的密度为(
A.$\frac{\rho_{1}+\rho_{2}}{2}$
B.$\frac{\rho_{1}+\rho_{2}}{\rho_{1}\rho_{2}}$
C.$\frac{2\rho_{1}\rho_{2}}{\rho_{1}+\rho_{2}}$
D.$\frac{\rho_{1}+\rho_{2}}{2\rho_{1}\rho_{2}}$
C
)A.$\frac{\rho_{1}+\rho_{2}}{2}$
B.$\frac{\rho_{1}+\rho_{2}}{\rho_{1}\rho_{2}}$
C.$\frac{2\rho_{1}\rho_{2}}{\rho_{1}+\rho_{2}}$
D.$\frac{\rho_{1}+\rho_{2}}{2\rho_{1}\rho_{2}}$
答案：2. C 点拨:甲、乙两种金属的密度分别为 $ \rho_{1} $、$ \rho_{2} $，将它们等质量地混合在一起制成合金，设甲、乙的质量均为 $ m $，根据 $ \rho = \frac{m}{V} $ 可知，甲的体积 $ V_{1} = \frac{m}{\rho_{1}} $，乙的体积 $ V_{2} = \frac{m}{\rho_{2}} $；将它们等质量地混合在一起制成合金的体积 $ V = V_{1} + V_{2} = \frac{m}{\rho_{1}} + \frac{m}{\rho_{2}} $，所制合金的密度 $ \rho_{\mathrm{合}} = \frac{2m}{V} = \frac{2m}{\frac{m}{\rho_{1}} + \frac{m}{\rho_{2}}} = \frac{2\rho_{1}\rho_{2}}{\rho_{1} + \rho_{2}} $。
3. (2024·玄武区模拟)现有 a、b 两个小球，分别由$\rho_{a}=4g/cm^{3}$、$\rho_{b}=5g/cm^{3}$的两种材料制成，两小球质量之比为$m_{a}:m_{b}=6:5$，体积之比为$V_{a}:V_{b}=3:4$，则下列说法正确的是(
A.若只有一个球是空心的，则 a 球是空心的
B.若只有一个球是空心的，则空心球空心部分的体积与实心部分的体积之比为$2:3$
C.若只有一个球是空心的，则空心球空心部分的体积与实心球的体积之比为$2:3$
D.若只有一个球是空心的，将空心球的空心部分装满水，则该球实心部分的质量与所加水的质量之比为$10:1$
C
)A.若只有一个球是空心的，则 a 球是空心的
B.若只有一个球是空心的，则空心球空心部分的体积与实心部分的体积之比为$2:3$
C.若只有一个球是空心的，则空心球空心部分的体积与实心球的体积之比为$2:3$
D.若只有一个球是空心的，将空心球的空心部分装满水，则该球实心部分的质量与所加水的质量之比为$10:1$
答案：3. C
解析：
假设两球均为实心，由$\rho=\frac{m}{V}$得$V=\frac{m}{\rho}$。
$V_{a实}=\frac{m_{a}}{\rho_{a}}$，$V_{b实}=\frac{m_{b}}{\rho_{b}}$，则$\frac{V_{a实}}{V_{b实}}=\frac{m_{a}\rho_{b}}{m_{b}\rho_{a}}=\frac{6×5}{5×4}=\frac{3}{2}$。
已知实际体积比$\frac{V_{a}}{V_{b}}=\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}＜\frac{3}{2}$，故$V_{a}＜V_{a实}$，$a$球不可能空心，$b$球空心。
设$m_{a}=6m$，$m_{b}=5m$，$V_{a}=3V$，$V_{b}=4V$。
$V_{b实}=\frac{m_{b}}{\rho_{b}}=\frac{5m}{5g/cm^{3}}=m$，空心部分$V_{空}=V_{b}-V_{b实}=4V - m$。
由$V_{a}=V_{a实}=\frac{m_{a}}{\rho_{a}}=\frac{6m}{4g/cm^{3}}=1.5m=3V$，得$V=0.5m$。
$V_{空}=4×0.5m - m = m$。
C选项：$\frac{V_{空}}{V_{a}}=\frac{m}{3V}=\frac{m}{3×0.5m}=\frac{2}{3}$，正确。
答案：C
$V_{a实}=\frac{m_{a}}{\rho_{a}}$，$V_{b实}=\frac{m_{b}}{\rho_{b}}$，则$\frac{V_{a实}}{V_{b实}}=\frac{m_{a}\rho_{b}}{m_{b}\rho_{a}}=\frac{6×5}{5×4}=\frac{3}{2}$。
已知实际体积比$\frac{V_{a}}{V_{b}}=\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}＜\frac{3}{2}$，故$V_{a}＜V_{a实}$，$a$球不可能空心，$b$球空心。
设$m_{a}=6m$，$m_{b}=5m$，$V_{a}=3V$，$V_{b}=4V$。
$V_{b实}=\frac{m_{b}}{\rho_{b}}=\frac{5m}{5g/cm^{3}}=m$，空心部分$V_{空}=V_{b}-V_{b实}=4V - m$。
由$V_{a}=V_{a实}=\frac{m_{a}}{\rho_{a}}=\frac{6m}{4g/cm^{3}}=1.5m=3V$，得$V=0.5m$。
$V_{空}=4×0.5m - m = m$。
C选项：$\frac{V_{空}}{V_{a}}=\frac{m}{3V}=\frac{m}{3×0.5m}=\frac{2}{3}$，正确。
答案：C
4. 用同一个瓶子装满水时水和瓶子的总质量为$500g$，装满酒精时酒精和瓶子的总质量为$450g$，则该瓶子的容积为
250
$cm^{3}$。($\rho_{水}=1.0g/cm^{3}$，$\rho_{酒精}=0.8g/cm^{3}$)答案：4. 250
解析：
设瓶子的质量为$m$，容积为$V$。
装满水时：$m + \rho_{水}V = 500g$，即$m + 1.0g/cm^{3} × V = 500g$ ①
装满酒精时：$m + \rho_{酒精}V = 450g$，即$m + 0.8g/cm^{3} × V = 450g$ ②
① - ②得：$1.0V - 0.8V = 500 - 450$
$0.2V = 50$
$V = 250cm^{3}$
250
装满水时：$m + \rho_{水}V = 500g$，即$m + 1.0g/cm^{3} × V = 500g$ ①
装满酒精时：$m + \rho_{酒精}V = 450g$，即$m + 0.8g/cm^{3} × V = 450g$ ②
① - ②得：$1.0V - 0.8V = 500 - 450$
$0.2V = 50$
$V = 250cm^{3}$
250
5. 在每吨汽油价格不变的情况下，加油站的油价会随着季节浮动，这是因为汽油具有热胀冷缩的特点. 若夏季汽油的密度为$0.7g/cm^{3}$，价格是$6.65$元/升，冬季汽油的密度为$0.74g/cm^{3}$，油价应调整为
7.03
元/升.答案：5. 7.03
解析：
1升=1000cm³，夏季1升汽油质量：$m_1 = \rho_1 V = 0.7g/cm^3 × 1000cm^3 = 700g = 0.7kg$，每吨汽油价格：$\frac{6.65元}{0.7kg} × 1000kg = 9500元/吨$。冬季1升汽油质量：$m_2 = \rho_2 V = 0.74g/cm^3 × 1000cm^3 = 740g = 0.74kg$，冬季油价：$9500元/吨 × 0.74kg/1000kg = 7.03元/升$。
7.03
7.03
6. 小明想用天平、透明烧杯和水(水的密度为$\rho_{水}$)制作测量液体密度的“密度计”，于是他做了如下操作.
(1) 用天平测出透明空烧杯的质量$m_{1}=23.4g$，然后向透明空烧杯中逐渐加入适量的水，直至烧杯和水的总质量如图甲所示，记作$m_{2}=\_\_\_\_\_\_g$，并在水面位置处做好标记$A$，如图乙所示.
(2) 测量待测液体密度时，先将烧杯中的水倒掉并擦干，然后倒入待测液体
(3) 理论上，该“密度计”可以鉴别密度差异不小于
(1) 用天平测出透明空烧杯的质量$m_{1}=23.4g$，然后向透明空烧杯中逐渐加入适量的水，直至烧杯和水的总质量如图甲所示，记作$m_{2}=\_\_\_\_\_\_g$，并在水面位置处做好标记$A$，如图乙所示.
(2) 测量待测液体密度时，先将烧杯中的水倒掉并擦干，然后倒入待测液体
至标记 $ A $ 处
，再次用天平测出透明烧杯和待测液体的总质量为$m_{3}$，则待测液体的密度$\rho=$$\frac{m_{3} - m_{1}}{m_{2} - m_{1}}\rho_{\mathrm{水}}$
(用符号表示).(3) 理论上，该“密度计”可以鉴别密度差异不小于
0.004
$g/cm^{3}$的液体.答案：6. (1)73.4 (2)至标记 $ A $ 处 $ \frac{m_{3} - m_{1}}{m_{2} - m_{1}}\rho_{\mathrm{水}} $ (3)0.004
点拨:(1)天平标尺上一大格表示 $ 1g $，里面有 5 个小格，故其分度值为 $ 0.2g $，水和烧杯的总质量为 $ 50g + 20g + 3.4g = 73.4g $。
(2)由题意可知，空烧杯的质量为 $ m_{1} $，然后在烧杯中加水，使烧杯和水的总质量为 $ m_{2} $，则烧杯内水的质量 $ m_{\mathrm{水}} = m_{2} - m_{1} $，烧杯内水的体积 $ V_{\mathrm{水}} = \frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{m_{2} - m_{1}}{\rho_{\mathrm{水}}} $，测量液体密度时，将待测液体加至标记 $ A $ 处，液体的体积 $ V_{\mathrm{液}} = V_{\mathrm{水}} = \frac{m_{2} - m_{1}}{\rho_{\mathrm{水}}} $，用天平称量出烧杯和液体的总质量为 $ m_{3} $，则烧杯内液体的质量 $ m_{\mathrm{液}} = m_{3} - m_{1} $，液体的密度 $ \rho_{\mathrm{液}} = \frac{m_{\mathrm{液}}}{V_{\mathrm{液}}} = \frac{m_{3} - m_{1}}{\frac{m_{2} - m_{1}}{\rho_{\mathrm{水}}}} = \frac{m_{3} - m_{1}}{m_{2} - m_{1}}\rho_{\mathrm{水}} $。
(3)由(2)知液体的体积 $ V_{\mathrm{液}} = V_{\mathrm{水}} = \frac{m_{2} - m_{1}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{73.4g - 23.4g}{1g/cm^{3}} = 50cm^{3} $，由托盘天平的分度值 $ 0.2g $ 可知，该“密度计”可以鉴别液体质量的差异为 $ 0.2g $，则该“密度计”可以鉴别的密度差异 $ \Delta\rho = \frac{\Delta m}{V_{\mathrm{液}}} = \frac{0.2g}{50cm^{3}} = 0.004g/cm^{3} $。
点拨:(1)天平标尺上一大格表示 $ 1g $，里面有 5 个小格，故其分度值为 $ 0.2g $，水和烧杯的总质量为 $ 50g + 20g + 3.4g = 73.4g $。
(2)由题意可知，空烧杯的质量为 $ m_{1} $，然后在烧杯中加水，使烧杯和水的总质量为 $ m_{2} $，则烧杯内水的质量 $ m_{\mathrm{水}} = m_{2} - m_{1} $，烧杯内水的体积 $ V_{\mathrm{水}} = \frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{m_{2} - m_{1}}{\rho_{\mathrm{水}}} $，测量液体密度时，将待测液体加至标记 $ A $ 处，液体的体积 $ V_{\mathrm{液}} = V_{\mathrm{水}} = \frac{m_{2} - m_{1}}{\rho_{\mathrm{水}}} $，用天平称量出烧杯和液体的总质量为 $ m_{3} $，则烧杯内液体的质量 $ m_{\mathrm{液}} = m_{3} - m_{1} $，液体的密度 $ \rho_{\mathrm{液}} = \frac{m_{\mathrm{液}}}{V_{\mathrm{液}}} = \frac{m_{3} - m_{1}}{\frac{m_{2} - m_{1}}{\rho_{\mathrm{水}}}} = \frac{m_{3} - m_{1}}{m_{2} - m_{1}}\rho_{\mathrm{水}} $。
(3)由(2)知液体的体积 $ V_{\mathrm{液}} = V_{\mathrm{水}} = \frac{m_{2} - m_{1}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{73.4g - 23.4g}{1g/cm^{3}} = 50cm^{3} $，由托盘天平的分度值 $ 0.2g $ 可知，该“密度计”可以鉴别液体质量的差异为 $ 0.2g $，则该“密度计”可以鉴别的密度差异 $ \Delta\rho = \frac{\Delta m}{V_{\mathrm{液}}} = \frac{0.2g}{50cm^{3}} = 0.004g/cm^{3} $。