11. 已知$\sqrt{2.026}\approx1.423$，$\sqrt{20.26}\approx4.501$，则$\sqrt{2026}$的值约为(
A.$0.1423$
B.$14.23$
C.$4.501$
D.$45.01$
D
)A.$0.1423$
B.$14.23$
C.$4.501$
D.$45.01$
答案：11.D
解析：
$\sqrt{2026}=\sqrt{20.26×100}=\sqrt{20.26}×\sqrt{100}\approx4.501×10=45.01$，答案选D。
12. 若等式$\sqrt{9 - a^{2}}=\sqrt{3 + a}·\sqrt{3 - a}$成立，则$a$的取值范围为
$-3 \leq a \leq 3$
。答案：12.$-3 \leq a \leq 3$
解析：
要使等式$\sqrt{9 - a^{2}}=\sqrt{3 + a}·\sqrt{3 - a}$成立，需满足：
$\begin{cases}9 - a^2 \geq 0 \\3 + a \geq 0 \\3 - a \geq 0\end{cases}$
解$9 - a^2 \geq 0$，得$-3 \leq a \leq 3$；解$3 + a \geq 0$，得$a \geq -3$；解$3 - a \geq 0$，得$a \leq 3$。综合可得$a$的取值范围为$-3 \leq a \leq 3$。
$-3 \leq a \leq 3$
$\begin{cases}9 - a^2 \geq 0 \\3 + a \geq 0 \\3 - a \geq 0\end{cases}$
解$9 - a^2 \geq 0$，得$-3 \leq a \leq 3$；解$3 + a \geq 0$，得$a \geq -3$；解$3 - a \geq 0$，得$a \leq 3$。综合可得$a$的取值范围为$-3 \leq a \leq 3$。
$-3 \leq a \leq 3$
13. 已知$\lvert a - 1\rvert + b^{2} + 4 - 4b + \sqrt{c - 3}=0$，则$\sqrt{\frac{1}{a}}·\sqrt{3b}·\sqrt{c}=$
$3\sqrt{2}$
。答案：13.$3\sqrt{2}$
解析：
解：$\because \lvert a - 1\rvert + b^{2} + 4 - 4b + \sqrt{c - 3}=0$
$\therefore \lvert a - 1\rvert + (b - 2)^{2} + \sqrt{c - 3}=0$
$\because \lvert a - 1\rvert \geq 0$，$(b - 2)^{2} \geq 0$，$\sqrt{c - 3} \geq 0$
$\therefore a - 1 = 0$，$b - 2 = 0$，$c - 3 = 0$
$\therefore a = 1$，$b = 2$，$c = 3$
$\sqrt{\frac{1}{a}}·\sqrt{3b}·\sqrt{c} = \sqrt{\frac{1}{1}}·\sqrt{3×2}·\sqrt{3} = 1×\sqrt{6}×\sqrt{3} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$3\sqrt{2}$
$\therefore \lvert a - 1\rvert + (b - 2)^{2} + \sqrt{c - 3}=0$
$\because \lvert a - 1\rvert \geq 0$，$(b - 2)^{2} \geq 0$，$\sqrt{c - 3} \geq 0$
$\therefore a - 1 = 0$，$b - 2 = 0$，$c - 3 = 0$
$\therefore a = 1$，$b = 2$，$c = 3$
$\sqrt{\frac{1}{a}}·\sqrt{3b}·\sqrt{c} = \sqrt{\frac{1}{1}}·\sqrt{3×2}·\sqrt{3} = 1×\sqrt{6}×\sqrt{3} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$3\sqrt{2}$
14.(2025·江苏常州模拟)若$\sqrt{x^{3}+3x^{2}}=-x·\sqrt{x + 3}$，则$x$的取值范围为
$-3 \leq x \leq 0$
。答案：14.$-3 \leq x \leq 0$
解析：
要使$\sqrt{x^{3}+3x^{2}}=-x·\sqrt{x + 3}$成立，需满足：
1. 根号下的数非负：$x^{3}+3x^{2} \geq 0$，即$x^{2}(x + 3) \geq 0$，因为$x^{2} \geq 0$恒成立，所以$x + 3 \geq 0$，解得$x \geq -3$；
2. 等式右边根号下的数非负：$x + 3 \geq 0$，解得$x \geq -3$；
3. 等式右边$-x$为非负数（因为算术平方根非负）：$-x \geq 0$，解得$x \leq 0$。
综上，$x$的取值范围为$-3 \leq x \leq 0$。
$-3 \leq x \leq 0$
1. 根号下的数非负：$x^{3}+3x^{2} \geq 0$，即$x^{2}(x + 3) \geq 0$，因为$x^{2} \geq 0$恒成立，所以$x + 3 \geq 0$，解得$x \geq -3$；
2. 等式右边根号下的数非负：$x + 3 \geq 0$，解得$x \geq -3$；
3. 等式右边$-x$为非负数（因为算术平方根非负）：$-x \geq 0$，解得$x \leq 0$。
综上，$x$的取值范围为$-3 \leq x \leq 0$。
$-3 \leq x \leq 0$
15. 先化简，再求值：$6x^{2}+2xy - 8y^{2}-2(3xy - 4y^{2}+3x^{2})$，其中$x=\sqrt{2}$，$y=\sqrt{6}$。
答案：15.原式$=6x^{2}+2xy - 8y^{2}-6xy + 8y^{2}-6x^{2}=-4xy$.当$x=\sqrt{2},y=\sqrt{6}$时，原式$=-4 × \sqrt{2} × \sqrt{6}=-8\sqrt{3}$.
16. 已知一直角三角形的两边长分别为$3\sqrt{2}$和$2\sqrt{3}$，求该三角形的面积。
答案：16.设该直角三角形的面积为$S$.分情况讨论如下：当$3\sqrt{2}$和$2\sqrt{3}$为该直角三角形的两条直角边长时，$S=\frac{1}{2} × 3\sqrt{2} × 2\sqrt{3}=3\sqrt{6}$;当$3\sqrt{2}$为该直角三角形的斜边长时，由勾股定理，得另一直角边长为$\sqrt{(3\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{6}$，所以$S=\frac{1}{2} × 2\sqrt{3} × \sqrt{6}=3\sqrt{2}$.综上，该直角三角形的面积为$3\sqrt{6}$或$3\sqrt{2}$.
17.(2024·重庆A卷)如图，在矩形$ABCD$中，分别以$A$，$C$两点为圆心，$AD$的长为半径作弧，两弧有且仅有一个公共点。若$AD = 4$，则图中阴影部分的面积为(
A.$32 - 8\pi$
B.$16\sqrt{3}-4\pi$
C.$32 - 4\pi$
D.$16\sqrt{3}-8\pi$
D
)A.$32 - 8\pi$
B.$16\sqrt{3}-4\pi$
C.$32 - 4\pi$
D.$16\sqrt{3}-8\pi$
答案：17.D 解析：连接$AC$.由题意，得$AC = 2AD$.又$AD = 4$，所以$AC = 8$.因为四边形$ABCD$是矩形，所以$BC = AD = 4$，$CD = AB$，$\angle ABC = 90^{\circ}$.在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理，得$AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=4\sqrt{3}$，即$CD = 4\sqrt{3}$.所以$S_{阴影}=4 × 4\sqrt{3}-2 × \frac{1}{4} × 4^{2}\pi=16\sqrt{3}-8\pi$.
18. 若$a$，$b$为有理数，且满足$a + b\sqrt{3}=\sqrt{6}×\sqrt{1+\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}$，则$a + b=$
4
。答案：18.4 解析：因为$4 + 2\sqrt{3}=1 + 2\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}$，所以$4 + 2\sqrt{3}=(1 + \sqrt{3})^{2}$.所以$\sqrt{6} × \sqrt{1+\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}=\sqrt{6} × \sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{12 + 6\sqrt{3}}$.又$12 + 6\sqrt{3}=3^{2}+6\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}=(3 + \sqrt{3})^{2}$，所以$a + b\sqrt{3}=\sqrt{(3 + \sqrt{3})^{2}}=3+\sqrt{3}$.所以$a = 3,b = 1$.则$a + b = 4$.
解析：
因为$4 + 2\sqrt{3}=1 + 2\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}=(1 + \sqrt{3})^{2}$，所以$\sqrt{1+\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}=\sqrt{1 + 1 + \sqrt{3}}=\sqrt{2+\sqrt{3}}$。
则$\sqrt{6}×\sqrt{1+\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}=\sqrt{6}×\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{6×(2+\sqrt{3})}=\sqrt{12 + 6\sqrt{3}}$。
又因为$12 + 6\sqrt{3}=3^{2}+6\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}=(3 + \sqrt{3})^{2}$，所以$\sqrt{12 + 6\sqrt{3}}=\sqrt{(3 + \sqrt{3})^{2}}=3 + \sqrt{3}$。
已知$a + b\sqrt{3}=3 + \sqrt{3}$，且$a$，$b$为有理数，所以$a = 3$，$b = 1$。
因此$a + b=3 + 1=4$。
4
则$\sqrt{6}×\sqrt{1+\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}=\sqrt{6}×\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{6×(2+\sqrt{3})}=\sqrt{12 + 6\sqrt{3}}$。
又因为$12 + 6\sqrt{3}=3^{2}+6\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}=(3 + \sqrt{3})^{2}$，所以$\sqrt{12 + 6\sqrt{3}}=\sqrt{(3 + \sqrt{3})^{2}}=3 + \sqrt{3}$。
已知$a + b\sqrt{3}=3 + \sqrt{3}$，且$a$，$b$为有理数，所以$a = 3$，$b = 1$。
因此$a + b=3 + 1=4$。
4
19. 在$3×3$的正方形网格中，每个小正方形的边长均为$1$，小正方形的顶点叫格点。
（1）以格点为顶点，请在网格图①中画出一个三边长分别为$3$，$2\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$的三角形，并求出它的面积；
（2）以格点为顶点，请在网格图②中画出一个三边长均为无理数，且面积为$\frac{3}{2}$的钝角三角形。
（1）以格点为顶点，请在网格图①中画出一个三边长分别为$3$，$2\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$的三角形，并求出它的面积；
（2）以格点为顶点，请在网格图②中画出一个三边长均为无理数，且面积为$\frac{3}{2}$的钝角三角形。
答案：
19.(1)如图①，$\triangle ABC$即为所作(画法不唯一).
由勾股定理，得$BC=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}$.又$AB = 3$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} × 3 × 2 = 3$.
(2)如图②，$\triangle DEF$即为所作(画法不唯一).
解析：由勾股定理，得$DE=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=3\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，$DF=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$，且点$F$到边$DE$的距离为$\frac{1}{2} × \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$S_{\triangle DEF}=\frac{1}{2} × 3\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{2}$.
19.(1)如图①，$\triangle ABC$即为所作(画法不唯一).
由勾股定理，得$BC=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}$.又$AB = 3$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} × 3 × 2 = 3$.
(2)如图②，$\triangle DEF$即为所作(画法不唯一).
解析：由勾股定理，得$DE=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=3\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，$DF=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$，且点$F$到边$DE$的距离为$\frac{1}{2} × \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$S_{\triangle DEF}=\frac{1}{2} × 3\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{2}$.