1. 现给出下列各式：① $\frac{\sqrt{(-4)^2ab}}{\sqrt{4ab}} = -4$；② $\frac{\sqrt{3^2 + 4^2}}{\sqrt{5^2 - 3^2}} = 1\frac{1}{4}$；③ $\frac{28x}{\sqrt{7x}} = 4\sqrt{x}$；④ $\frac{\sqrt{(b - a)^2}}{\sqrt{a - b}} = \sqrt{a - b}$.其中，正确的是(
A.①③
B.②④
C.①④
D.②③
B
)A.①③
B.②④
C.①④
D.②③
答案：1. B
解析：
① $\frac{\sqrt{(-4)^2ab}}{\sqrt{4ab}}=\frac{\sqrt{16ab}}{\sqrt{4ab}}=\sqrt{\frac{16ab}{4ab}}=\sqrt{4}=2\neq -4$，错误；
② $\frac{\sqrt{3^2 + 4^2}}{\sqrt{5^2 - 3^2}}=\frac{\sqrt{9 + 16}}{\sqrt{25 - 9}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$，正确；
③ $\frac{28x}{\sqrt{7x}}=\frac{28x\sqrt{7x}}{7x}=4\sqrt{7x}\neq 4\sqrt{x}$，错误；
④ 由$\sqrt{a - b}$有意义得$a - b＞0$，则$\frac{\sqrt{(b - a)^2}}{\sqrt{a - b}}=\frac{a - b}{\sqrt{a - b}}=\sqrt{a - b}$，正确。
正确的是②④，答案选B。
② $\frac{\sqrt{3^2 + 4^2}}{\sqrt{5^2 - 3^2}}=\frac{\sqrt{9 + 16}}{\sqrt{25 - 9}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$，正确；
③ $\frac{28x}{\sqrt{7x}}=\frac{28x\sqrt{7x}}{7x}=4\sqrt{7x}\neq 4\sqrt{x}$，错误；
④ 由$\sqrt{a - b}$有意义得$a - b＞0$，则$\frac{\sqrt{(b - a)^2}}{\sqrt{a - b}}=\frac{a - b}{\sqrt{a - b}}=\sqrt{a - b}$，正确。
正确的是②④，答案选B。
2. 已知 $\sqrt{\frac{9 - x}{x - 6}} = \frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{x - 6}}$，且 $x$ 为偶数，则 $(1 + x)\sqrt{\frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 1}}$ 的值为(
A.$2$
B.$2\sqrt{2}$
C.$6$
D.$36$
C
)A.$2$
B.$2\sqrt{2}$
C.$6$
D.$36$
答案：2. C
解析：
要使$\sqrt{\frac{9 - x}{x - 6}} = \frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{x - 6}}$成立，需满足：
$\begin{cases}9 - x \geq 0 \\x - 6 ＞ 0\end{cases}$
解得$6 ＜ x \leq 9$。
因为$x$为偶数，所以$x = 8$。
将$x = 8$代入$(1 + x)\sqrt{\frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 1}}$：
$\begin{aligned}&(1 + 8)\sqrt{\frac{8^2 - 5×8 + 4}{8^2 - 1}}\\=&9\sqrt{\frac{64 - 40 + 4}{64 - 1}}\\=&9\sqrt{\frac{28}{63}}\\=&9\sqrt{\frac{4}{9}}\\=&9×\frac{2}{3}\\=&6\end{aligned}$
答案：C
$\begin{cases}9 - x \geq 0 \\x - 6 ＞ 0\end{cases}$
解得$6 ＜ x \leq 9$。
因为$x$为偶数，所以$x = 8$。
将$x = 8$代入$(1 + x)\sqrt{\frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 1}}$：
$\begin{aligned}&(1 + 8)\sqrt{\frac{8^2 - 5×8 + 4}{8^2 - 1}}\\=&9\sqrt{\frac{64 - 40 + 4}{64 - 1}}\\=&9\sqrt{\frac{28}{63}}\\=&9\sqrt{\frac{4}{9}}\\=&9×\frac{2}{3}\\=&6\end{aligned}$
答案：C
3. (教材 P163 练习 1 变式)计算：
(1)$\sqrt{18} ÷ \sqrt{2} =$
(2)$\sqrt{1\frac{1}{2}} ÷ \sqrt{\frac{1}{6}} =$
(1)$\sqrt{18} ÷ \sqrt{2} =$
3
；(2)$\sqrt{1\frac{1}{2}} ÷ \sqrt{\frac{1}{6}} =$
3
.答案：3. (1) 3 (2) 3
解析：
(1) $\sqrt{18} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{18÷2} = \sqrt{9} = 3$；
(2) $\sqrt{1\frac{1}{2}} ÷ \sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{3}{2} ÷ \frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{3}{2}×6} = \sqrt{9} = 3$
(2) $\sqrt{1\frac{1}{2}} ÷ \sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{3}{2} ÷ \frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{3}{2}×6} = \sqrt{9} = 3$
4. (2025·江苏连云港模拟)若某三角形的面积为 $\sqrt{18}\ \mathrm{cm}^2$，且它的一条边长为 $\sqrt{8}\ \mathrm{cm}$，则该边上的高为
3
$\mathrm{cm}$.答案：4. 3
解析：
设该边上的高为$h\ \mathrm{cm}$。
三角形面积公式为$S = \frac{1}{2} × 底 × 高$，已知面积$S = \sqrt{18}\ \mathrm{cm}^2$，底边长为$\sqrt{8}\ \mathrm{cm}$，则：
$\sqrt{18} = \frac{1}{2} × \sqrt{8} × h$
化简$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$，$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$，代入得：
$3\sqrt{2} = \frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × h$
$3\sqrt{2} = \sqrt{2} × h$
解得$h = 3$。
3
三角形面积公式为$S = \frac{1}{2} × 底 × 高$，已知面积$S = \sqrt{18}\ \mathrm{cm}^2$，底边长为$\sqrt{8}\ \mathrm{cm}$，则：
$\sqrt{18} = \frac{1}{2} × \sqrt{8} × h$
化简$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$，$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$，代入得：
$3\sqrt{2} = \frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × h$
$3\sqrt{2} = \sqrt{2} × h$
解得$h = 3$。
3
5. 已知 $x = \sqrt{\frac{2024}{2025}}$，$y = \sqrt{\frac{2025}{2026}}$，则 $\frac{x}{y}$_________$1$.(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)
答案：5. $＜$
解析：
$\frac{x}{y}=\sqrt{\frac{2024}{2025}÷\frac{2025}{2026}}=\sqrt{\frac{2024×2026}{2025^2}}$，$2024×2026=(2025-1)(2025+1)=2025^2-1$，则$\frac{x}{y}=\sqrt{\frac{2025^2-1}{2025^2}}=\sqrt{1-\frac{1}{2025^2}}＜1$，故填$＜$。
6. 化简：
（1）$\sqrt{1\frac{32}{49}}$；
（2）$\sqrt{\frac{11}{729}}$；
（3）$\sqrt{\frac{25x^6}{36y^2}}(x ＜ 0,y ＞ 0)$；
（4）$\sqrt{\frac{4a^2b^3}{c^4}}(a ＞ 0,bc \neq 0)$.
（1）$\sqrt{1\frac{32}{49}}$；
（2）$\sqrt{\frac{11}{729}}$；
（3）$\sqrt{\frac{25x^6}{36y^2}}(x ＜ 0,y ＞ 0)$；
（4）$\sqrt{\frac{4a^2b^3}{c^4}}(a ＞ 0,bc \neq 0)$.
答案：6. (1)$\sqrt{1\frac{32}{49}}=\sqrt{\frac{81}{49}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{49}}=\frac{9}{7}$.
(2)$\sqrt{\frac{11}{729}}=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{729}}=\frac{\sqrt{11}}{27}$.
(3)$\sqrt{\frac{25x^{6}}{36y^{2}}}=\frac{\sqrt{25x^{6}}}{\sqrt{36y^{2}}}=\frac{5x^{3}}{6y}$.
(4)$\sqrt{\frac{4a^{2}b^{3}}{c^{4}}}=\frac{\sqrt{4a^{2}b^{2}· \sqrt{b}}}{\sqrt{c^{4}}}=\frac{2ab\sqrt{b}}{c^{2}}$.
易错警示
二次根式化简时，要确定各字母的正负性，掌握根号中的数是非负数是解决问题的关键.
(2)$\sqrt{\frac{11}{729}}=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{729}}=\frac{\sqrt{11}}{27}$.
(3)$\sqrt{\frac{25x^{6}}{36y^{2}}}=\frac{\sqrt{25x^{6}}}{\sqrt{36y^{2}}}=\frac{5x^{3}}{6y}$.
(4)$\sqrt{\frac{4a^{2}b^{3}}{c^{4}}}=\frac{\sqrt{4a^{2}b^{2}· \sqrt{b}}}{\sqrt{c^{4}}}=\frac{2ab\sqrt{b}}{c^{2}}$.
易错警示
二次根式化简时，要确定各字母的正负性，掌握根号中的数是非负数是解决问题的关键.
7. 如果 $\sqrt{3} ÷ \sqrt{\frac{a}{12}}$ 是整数，那么正整数 $a$ 的值有(
A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$4$ 个
D.无数个
C
)A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$4$ 个
D.无数个
答案：7. C
解析：
$\begin{aligned}\sqrt{3} ÷ \sqrt{\frac{a}{12}} &= \sqrt{3 ÷ \frac{a}{12}} \\&= \sqrt{3 × \frac{12}{a}} \\&= \sqrt{\frac{36}{a}} \\&= \frac{6}{\sqrt{a}}.\end{aligned}$
因为结果是整数，所以$\sqrt{a}$是$6$的正因数。$6$的正因数有$1,2,3,6$，则$\sqrt{a}=1$时，$a=1$；$\sqrt{a}=2$时，$a=4$；$\sqrt{a}=3$时，$a=9$；$\sqrt{a}=6$时，$a=36$。正整数$a$的值有$1,4,9,36$，共$4$个。
C
因为结果是整数，所以$\sqrt{a}$是$6$的正因数。$6$的正因数有$1,2,3,6$，则$\sqrt{a}=1$时，$a=1$；$\sqrt{a}=2$时，$a=4$；$\sqrt{a}=3$时，$a=9$；$\sqrt{a}=6$时，$a=36$。正整数$a$的值有$1,4,9,36$，共$4$个。
C
8. 若 $a^2 - 3ab + b^2 = 0$，且 $a ＞ b ＞ 0$，则 $\frac{a + b}{a - b}$ 的值为(
A.$-5$
B.$5$
C.$-\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}$
D
)A.$-5$
B.$5$
C.$-\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}$
答案：8. D
解析：
解：由$a^2 - 3ab + b^2 = 0$，等式两边同时除以$b^2$（$b\neq0$），得$(\frac{a}{b})^2 - 3(\frac{a}{b}) + 1 = 0$。
设$t = \frac{a}{b}$（$t ＞ 1$，因为$a ＞ b ＞ 0$），则方程化为$t^2 - 3t + 1 = 0$。
解得$t = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$，因为$t ＞ 1$，所以$t = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$。
$\frac{a + b}{a - b} = \frac{\frac{a}{b} + 1}{\frac{a}{b} - 1} = \frac{t + 1}{t - 1}$，将$t = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$代入，得：
$\begin{aligned}\frac{\frac{3 + \sqrt{5}}{2} + 1}{\frac{3 + \sqrt{5}}{2} - 1}&=\frac{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}\\&=\frac{5 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}}\\&=\frac{(5 + \sqrt{5})(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}\\&=\frac{5\sqrt{5} - 5 + 5 - \sqrt{5}}{5 - 1}\\&=\frac{4\sqrt{5}}{4}\\&=\sqrt{5}\end{aligned}$
D
设$t = \frac{a}{b}$（$t ＞ 1$，因为$a ＞ b ＞ 0$），则方程化为$t^2 - 3t + 1 = 0$。
解得$t = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$，因为$t ＞ 1$，所以$t = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$。
$\frac{a + b}{a - b} = \frac{\frac{a}{b} + 1}{\frac{a}{b} - 1} = \frac{t + 1}{t - 1}$，将$t = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$代入，得：
$\begin{aligned}\frac{\frac{3 + \sqrt{5}}{2} + 1}{\frac{3 + \sqrt{5}}{2} - 1}&=\frac{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}\\&=\frac{5 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}}\\&=\frac{(5 + \sqrt{5})(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}\\&=\frac{5\sqrt{5} - 5 + 5 - \sqrt{5}}{5 - 1}\\&=\frac{4\sqrt{5}}{4}\\&=\sqrt{5}\end{aligned}$
D
9. (2025·江苏常州模拟)若 $\sqrt{\frac{y + 2}{2x - 1}} = \frac{\sqrt{y + 2}}{\sqrt{2x - 1}}$，且 $x + y = 5$，则 $x$ 的取值范围是(
A.$x ＞ \frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{2} \leq x ＜ 5$
C.$\frac{1}{2} ＜ x ＜ 7$
D.$\frac{1}{2} ＜ x \leq 7$
D
)A.$x ＞ \frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{2} \leq x ＜ 5$
C.$\frac{1}{2} ＜ x ＜ 7$
D.$\frac{1}{2} ＜ x \leq 7$
答案：9. D
解析：
要使等式$\sqrt{\frac{y + 2}{2x - 1}} = \frac{\sqrt{y + 2}}{\sqrt{2x - 1}}$成立，需满足：
$\begin{cases}y + 2 \geq 0 \\2x - 1 ＞ 0\end{cases}$
由$2x - 1 ＞ 0$，得$x ＞ \frac{1}{2}$。
因为$x + y = 5$，所以$y = 5 - x$。代入$y + 2 \geq 0$，得：
$5 - x + 2 \geq 0 \implies x \leq 7$
综上，$x$的取值范围是$\frac{1}{2} ＜ x \leq 7$。
D
$\begin{cases}y + 2 \geq 0 \\2x - 1 ＞ 0\end{cases}$
由$2x - 1 ＞ 0$，得$x ＞ \frac{1}{2}$。
因为$x + y = 5$，所以$y = 5 - x$。代入$y + 2 \geq 0$，得：
$5 - x + 2 \geq 0 \implies x \leq 7$
综上，$x$的取值范围是$\frac{1}{2} ＜ x \leq 7$。
D