10. (亮点原创)若 $A(a,3)$，$B(-2,b)$ 两点关于 $y$ 轴对称，则 $\sqrt{3a - b} ÷ \sqrt{\frac{2a}{b}} =$
$\frac{3}{2}$
.答案：10.$\frac{3}{2}$
解析：
因为$A(a,3)$，$B(-2,b)$两点关于$y$轴对称，所以$a = 2$，$b = 3$。
将$a = 2$，$b = 3$代入$\sqrt{3a - b} ÷ \sqrt{\frac{2a}{b}}$得：
$\begin{aligned}&\sqrt{3×2 - 3} ÷ \sqrt{\frac{2×2}{3}}\\=&\sqrt{6 - 3} ÷ \sqrt{\frac{4}{3}}\\=&\sqrt{3} ÷ \frac{2}{\sqrt{3}}\\=&\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2}\\=&\frac{3}{2}\end{aligned}$
$\frac{3}{2}$
将$a = 2$，$b = 3$代入$\sqrt{3a - b} ÷ \sqrt{\frac{2a}{b}}$得：
$\begin{aligned}&\sqrt{3×2 - 3} ÷ \sqrt{\frac{2×2}{3}}\\=&\sqrt{6 - 3} ÷ \sqrt{\frac{4}{3}}\\=&\sqrt{3} ÷ \frac{2}{\sqrt{3}}\\=&\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2}\\=&\frac{3}{2}\end{aligned}$
$\frac{3}{2}$
11. 已知 $\frac{\sqrt{300}}{\sqrt{n}}$ 是正整数，则整数 $n$ 的最小值为
3
.答案：11. 3
解析：
$\frac{\sqrt{300}}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{300}{n}}=\sqrt{\frac{100×3}{n}}=10\sqrt{\frac{3}{n}}$，因为结果是正整数，所以$\sqrt{\frac{3}{n}}$必须是有理数，即$\frac{3}{n}$是完全平方数的倒数。设$\frac{3}{n}=\frac{1}{k^2}$（$k$为正整数），则$n=3k^2$，当$k=1$时，$n$取得最小值$3×1^2=3$。
3
3
12. （1）已知 $a + b = 2\sqrt{ab}(a ＞ 0,b ＞ 0)$，求 $\frac{\sqrt{4a - b}}{\sqrt{5a + 7b}}$ 的值；
（2）（2025·江苏连云港模拟）已知实数 $a$，$b$ 满足 $\sqrt{4a - b + 1} + \sqrt{\frac{1}{3}b - 4a - 3} = 0$，求 $2a\sqrt{\frac{a}{b}} · (\sqrt{\frac{b}{a}} ÷ \sqrt{\frac{1}{-b}})$ 的值.
（2）（2025·江苏连云港模拟）已知实数 $a$，$b$ 满足 $\sqrt{4a - b + 1} + \sqrt{\frac{1}{3}b - 4a - 3} = 0$，求 $2a\sqrt{\frac{a}{b}} · (\sqrt{\frac{b}{a}} ÷ \sqrt{\frac{1}{-b}})$ 的值.
答案：12. (1)因为$a+b=2\sqrt{ab}(a＞0,b＞0)$,所以$a+b-2\sqrt{ab}=0$,即$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=0$.所以$\sqrt{a}-\sqrt{b}=0$,即$\sqrt{a}=\sqrt{b}$.所以$a=b$.所以$\frac{\sqrt{4a}-b}{\sqrt{5a+7b}}=\frac{\sqrt{3a}}{\sqrt{12a}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$.
(2)由题意,得$\begin{cases}4a-b+1=0,\frac{1}{3}b-4a-3=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=-3.\end{cases}$则原式=$2a·\sqrt{\frac{a}{b}}·\frac{b}{a}·(-b)=2a\sqrt{-b}=-2\sqrt{3}$.
(2)由题意,得$\begin{cases}4a-b+1=0,\frac{1}{3}b-4a-3=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=-3.\end{cases}$则原式=$2a·\sqrt{\frac{a}{b}}·\frac{b}{a}·(-b)=2a\sqrt{-b}=-2\sqrt{3}$.
13. (2025·江苏宿迁期末)若 $\sqrt{5} = a$，$\sqrt{30} = b$，则 $\sqrt{0.06}$ 用含 $a$，$b$ 的代数式可表示为(
A.$\frac{a}{10b}$
B.$\frac{b}{10a}$
C.$\frac{ab}{10}$
D.$\frac{10}{ab}$
B
)A.$\frac{a}{10b}$
B.$\frac{b}{10a}$
C.$\frac{ab}{10}$
D.$\frac{10}{ab}$
答案：13. B 解析：因为$\sqrt{5}=a$,$\sqrt{30}=b$,所以$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{5}}=\sqrt{6}$.又$\sqrt{0.06}=\sqrt{\frac{6}{100}}=\frac{\sqrt{6}}{10}$,所以$\sqrt{0.06}=\frac{b}{10a}$.
14. (新趋势 学科融合)已知一个长方体木块放在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是 $\sqrt{a}$，$\sqrt{b}$，$\sqrt{c}(a ＞ b ＞ c ＞ 0)$.若该木块对桌面的最小压强为 $P_1$，最大压强为 $P_2$，则 $\frac{P_1}{P_2}$ 的值为
$\frac{\sqrt{ac}}{a}$
.答案：14.$\frac{\sqrt{ac}}{a}$解析:设该长方体木块对水平桌面的压力为$F$.因为$a＞b＞c＞0$,所以$P_1=\frac{F}{\sqrt{a}·\sqrt{b}}$,$P_2=\frac{F}{\sqrt{b}·\sqrt{c}}$,即$\frac{P_1}{P_2}=\frac{\frac{F}{\sqrt{a}·\sqrt{b}}}{\frac{F}{\sqrt{b}·\sqrt{c}}}=\frac{\sqrt{ac}}{a}$.
15. 自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a - 3}}$ 中实数 $a$ 的取值范围.”她告诉刘敏说：“你把题目抄错了，不是‘$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a - 3}}$’，而是‘$\sqrt{\frac{a}{a - 3}}$’.”刘敏说：“哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正 $a$ 和 $a - 3$ 都在根号内.”试问：刘敏说得对吗？就是说，按照 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a - 3}}$ 解题和按照 $\sqrt{\frac{a}{a - 3}}$ 解题的结果一样吗？并说明理由.
答案：15. 刘敏说得不对,结果不一样.理由如下:按$\sqrt{\frac{a}{a-3}}$解题,则$\begin{cases}a\geq0,\\a-3＞0\end{cases}$或$\begin{cases}a\leq0,\\a-3＜0\end{cases}$,解得$a＞3$或$a\leq0$.而按$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a-3}}$解题,则$\begin{cases}a\geq0,\\a-3＞0\end{cases}$,解得$a＞3$.
解析：
刘敏说得不对，结果不一样。理由如下：
按$\sqrt{\frac{a}{a - 3}}$解题，需满足$\frac{a}{a - 3} \geq 0$，即$\begin{cases}a \geq 0 \\ a - 3 ＞ 0\end{cases}$或$\begin{cases}a \leq 0 \\ a - 3 ＜ 0\end{cases}$，解得$a ＞ 3$或$a \leq 0$。
按$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a - 3}}$解题，需满足$\begin{cases}a \geq 0 \\ a - 3 ＞ 0\end{cases}$，解得$a ＞ 3$。
故两种情况结果不同。
按$\sqrt{\frac{a}{a - 3}}$解题，需满足$\frac{a}{a - 3} \geq 0$，即$\begin{cases}a \geq 0 \\ a - 3 ＞ 0\end{cases}$或$\begin{cases}a \leq 0 \\ a - 3 ＜ 0\end{cases}$，解得$a ＞ 3$或$a \leq 0$。
按$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a - 3}}$解题，需满足$\begin{cases}a \geq 0 \\ a - 3 ＞ 0\end{cases}$，解得$a ＞ 3$。
故两种情况结果不同。